Problema

[xXStephXx]

Vi propongo un problemino, tanto per il gusto di aprire un topic. eheh

$29^28+4$ è primo?


La soluzione la metto dopo (sennò che gusto c'è).

[salvozungri]

No, non è numero primo, è sufficiente guardare l'unità del numero $29^28+4$ per rendersene conto
Infatti è facile verificare che $29^n"mod"(10)={(1 , text(n pari,)),(9 , text(n dispari)):}$ di conseguenza $29^28+ 4 = 5 "mod"(10)$, ciò significa che l'unità di $29^28+ 4$ è 5 e per il criterio di divisibilità per 5 abbiamo che $5$ divide $ (29^28+4)$.

Ho un'altra soluzione ma per ora non la scrivo

[edit]: E' conveniente mettere un titolo più significativo, "problema" è troppo generico

[Gi81]

Non ho visto la soluzione di Mathematico, magari è la stessa

Se un naturale $n$ ha come cifra dell'unità $9$,
si dimostra facilmente che $AA k in NN$ $n^(2k)$ ha $1$ come cifra dell'unità
Quindi $n^(2k)+4$ è divisible per $5$ in quanto ha $5$ come cifra dell'unità.
Nel nostro caso $n=29$, $k=14$

[salvozungri]

Sì, le idee sono le stesse, ma espresse in modo diverso . Propongo l'altra soluzione:

Sia [tex]n\in\mathbb{N}[/tex], consideriamo la quantità [tex]m= n^{28}+4[/tex] e verifichiamo che per ogni [tex]n>1[/tex], [tex]m[/tex] può essere espresso come prodotto di numeri naturali diversi da 1.
[tex]m=n^{28}+4= (n^{14})^2+2^2= (n^{14})^2+4 n^{14}+2^2- 4 n^{14}=[/tex]
[tex](n^{14}+2)^2- 4 n^{14} = (n^{14}+2 n^7+2)(n^{14}-2 n^7+2)[/tex]

Il fattore [tex](n^{14}+2 n^7+2)[/tex] è sicuramente maggiore di 2, così come il secondo. L'unico naturale [tex]n[/tex] che rende [tex]m[/tex] numero primo è [tex]n=1[/tex], per il quale si ha [tex]m=5[/tex].

[tex]29^{28}+4[/tex] è un caso particolare di ciò che è stato scritto in precedenza

[alfaceti]

Ora metto anche il mio ragionamento terra terra,

Se vado a moltiplicare due numeri che finiscono con 9 ottengo un numero che finisce per 1, se vado ancora a moltiplicare questo numero per un altro che finisce per 9 ottengo un numero che finisce per 9, quindi moltiplicando 29 per se stesso ottengo un numero che finisce per 9 o per 1 a seconda se lo moltiplico un numero dispari di volte o un numero pari di volte. Nel nostro caso lo moltiplico un numero pari di volte (28) e quindi ottengo un numero che finisce per 1. Vado a sommare questo numero con 4 e ottengo un numero che finisce per 5 e quindi è divisibile per 5

magari è la stessa vostra, ma non penso, mi sembra un ragionamento grossolano.