Probabilità mascherate
Per il vostro compleanno, non sapendo cosa regalarvi, decido di donarvi una somma di denaro. Trovando la cruda donazione un po' disdicevole, metto i soldi in una busta... però sono indeciso, mi pare poco... così metto il doppio della somma iniziale in una seconda busta (identica e indistinguibile dalla precedente).
Mi presento e dichiaro esplicitamente ciò che ho fatto: vi chiedo di scegliere una delle due buste. Fate come vi dico: trovate una baconota da 100 euro. A questo punto, vi offro uno e un solo cambio.
Vi conviene cambiare?
P.S. Nell'altra busta potrebbe esserci una banconota da 50 euro come una da 200 (in teoria, entrambe le possibilità sono sul tavolo e nessuna di esse è escludibile a priori).
Mi presento e dichiaro esplicitamente ciò che ho fatto: vi chiedo di scegliere una delle due buste. Fate come vi dico: trovate una baconota da 100 euro. A questo punto, vi offro uno e un solo cambio.
Vi conviene cambiare?
P.S. Nell'altra busta potrebbe esserci una banconota da 50 euro come una da 200 (in teoria, entrambe le possibilità sono sul tavolo e nessuna di esse è escludibile a priori).
Risposte
"marcokrt":
P.S. [...] come una da 100 [...]
Non da 200?
Sì, da 200 
Mi scuso per il macroscopico errore... adesso ho editato e il testo dovrebbe essere corretto.
Mi scuso per il macroscopico errore... adesso ho editato e il testo dovrebbe essere corretto.
Io direi che dal punto di vista matematico a prescindere dai cambi c'è il 50% di possibilità di prendere la busta con la somma maggiore. Però si può fare un ragionamento diverso.
Ipotizziamo di prendere al primo colpo la busta "migliore": se decidiamo di tenerla abbiamo fatto bene e siamo contenti della nostra scelta, se invece decidiamo di cambiarla, rimarremo delusi.
Ipotizziamo ora di aver preso la busta con meno soldi al primo tentativo: se decidiamo di cambiarla facciamo bene e siamo contenti perchè troviamo la somma maggiore, se invece decidiamo di tenerla siamo contenti lo stesso perchè possiamo essere convinti (o cercare di esserlo) di aver fatto la scelta giusta.
In pratica, tendeno la busta saremo sempre felici, mentre cambiandola c'è una possibilità su due che ci vada peggio di prima.
Questo, ovviamente, supponendo che il contenuto della busta non scelta non venga poi rivelato.
Ipotizziamo di prendere al primo colpo la busta "migliore": se decidiamo di tenerla abbiamo fatto bene e siamo contenti della nostra scelta, se invece decidiamo di cambiarla, rimarremo delusi.
Ipotizziamo ora di aver preso la busta con meno soldi al primo tentativo: se decidiamo di cambiarla facciamo bene e siamo contenti perchè troviamo la somma maggiore, se invece decidiamo di tenerla siamo contenti lo stesso perchè possiamo essere convinti (o cercare di esserlo) di aver fatto la scelta giusta.
In pratica, tendeno la busta saremo sempre felici, mentre cambiandola c'è una possibilità su due che ci vada peggio di prima.
Questo, ovviamente, supponendo che il contenuto della busta non scelta non venga poi rivelato.
E poniamo che io dicessi:
Il valore atteso di cambiare sarebbe (200-100)*0.5+(50-100)*0.5=25 euro. Quindi cambiando si guadagnerebbero 25 euro teorici...
Dite che avrei ragione?
Occhio, perché il problema non è banalissimo
Il valore atteso di cambiare sarebbe (200-100)*0.5+(50-100)*0.5=25 euro. Quindi cambiando si guadagnerebbero 25 euro teorici...
Dite che avrei ragione?
Occhio, perché il problema non è banalissimo
Il mio ragionamento era solo un'idea che mi è venuta di getto leggendo il problema, ma visto che non ho praticamente competenze in questo campo, lascio a chi è più esperto. 
Io scelgo una busta e trovo dei soldi al suo interno. So che l'altra busta ha il doppio o la metà e so anche a priori che dalla formula che hai enunciato guadagnerei scambiando le buste. Ma tu non mi dai nessun'altra informazione. E allora che senso ha effettuare il cambio? Non è come nel caso di Monty Hall.
Potrei benissimo sceglierne una, non guardarne il contenuto (tanto il ragionamento appena fatto andrebbe benissimo lo stesso) e quindi prendere la seconda. Ne deduco che è la stessa cosa cambiare o tenere i soldi. Sembra una situazione paradossale in effetti.
Potrei benissimo sceglierne una, non guardarne il contenuto (tanto il ragionamento appena fatto andrebbe benissimo lo stesso) e quindi prendere la seconda. Ne deduco che è la stessa cosa cambiare o tenere i soldi. Sembra una situazione paradossale in effetti.
La conclusione è giusta... adesso la sfida è quella di confutare con un ragionamento rigoroso ciò che ho scritto prima 
Il mio hint è di pensare alle probabilità condizionate sottese: dati i 100 euro e volendo cambiare, sarebbe equiprobabile trovarne 200 o 50?
Il mio hint è di pensare alle probabilità condizionate sottese: dati i 100 euro e volendo cambiare, sarebbe equiprobabile trovarne 200 o 50?
Se fosse giusto applicare la formula $(200-100)*0.5+(50-100)*0.5=25$ euro, mi converrebbe cambiare. Ma sarei in contraddizione con quanto detto da me prima. Quindi forse le probabilità sono diverse e bisognerebbe trovare $p$ tale che
$(200-100)*p+(50-100)*(1-p)=0$
da cui $100p-50+50p=0$ e quindi $p=1/3$
Cioè c'è il $67%$ di probabilità di trovare 50 euro nell'altra busta e quindi il $33%$ di trovarne 200. Ma non saprei dire il perché di questo risultato.
$(200-100)*p+(50-100)*(1-p)=0$
da cui $100p-50+50p=0$ e quindi $p=1/3$
Cioè c'è il $67%$ di probabilità di trovare 50 euro nell'altra busta e quindi il $33%$ di trovarne 200. Ma non saprei dire il perché di questo risultato.
Secondo me una cosa che porta fuori strada è considerare 50 100 e 200.
Invece, le buste sono da $k$ e $2k$ euro.
Mettiamo caso che non cambio la busta. Allora la probabilità di vincere $k$ o $2k$ è sempre ovviamente $1/2$, e la vincita media è quindi $1/2 k + 1/2 2k = 3/2 k$.
Mettiamo caso invece che cambio sempre la busta. Allora la probabilità di vincere $k$ o $2k$ rimane sempre ovviamente $1/2$ e la vincita media è sempre $3/2 k$.
Altro modo per vederla, consideriamo tutte le possibilità:
1) Scelgo $k$, rimango con $k$
2) Scelgo $2k$, rimango con $2k$.
3) Scelgo $k$, cambio con $2k$
4) Scelgo $2k$, cambio con $k$
Si vede al volo che se tengo la busta, ho $1/2$ di possibilità di prendere la vincita più bassa (la 1)) e $1/2$ di possibilità di prendere la vincita più alta (la 2)); se invece cambio, ho sempre $1/2$ di possibilità di prendere la vincita più bassa (la 4)) e $1/2$ di possibilità di prendere la vincita più alta (la 3)).
In definitiva è irrilevante tenere o meno la busta, come la logica in questo caso suggerisce.
E' sbagliato dire "se trovo 100 euro, l'altra busta può contenere 50 o 200 euro" perché nel modello i due valori non possono coesistere contemporaneamente. Altrimenti il modello si presta a cose tipo "se trovo 100 euro l'altra busta può contenere 50 o 200 euro. ma se l'altra busta può contenere 50 o 200 euro, allora la mia busta può contenere 25, 100 o 400 euro" ecc che è falso.
Invece, le buste sono da $k$ e $2k$ euro.
Mettiamo caso che non cambio la busta. Allora la probabilità di vincere $k$ o $2k$ è sempre ovviamente $1/2$, e la vincita media è quindi $1/2 k + 1/2 2k = 3/2 k$.
Mettiamo caso invece che cambio sempre la busta. Allora la probabilità di vincere $k$ o $2k$ rimane sempre ovviamente $1/2$ e la vincita media è sempre $3/2 k$.
Altro modo per vederla, consideriamo tutte le possibilità:
1) Scelgo $k$, rimango con $k$
2) Scelgo $2k$, rimango con $2k$.
3) Scelgo $k$, cambio con $2k$
4) Scelgo $2k$, cambio con $k$
Si vede al volo che se tengo la busta, ho $1/2$ di possibilità di prendere la vincita più bassa (la 1)) e $1/2$ di possibilità di prendere la vincita più alta (la 2)); se invece cambio, ho sempre $1/2$ di possibilità di prendere la vincita più bassa (la 4)) e $1/2$ di possibilità di prendere la vincita più alta (la 3)).
In definitiva è irrilevante tenere o meno la busta, come la logica in questo caso suggerisce.
E' sbagliato dire "se trovo 100 euro, l'altra busta può contenere 50 o 200 euro" perché nel modello i due valori non possono coesistere contemporaneamente. Altrimenti il modello si presta a cose tipo "se trovo 100 euro l'altra busta può contenere 50 o 200 euro. ma se l'altra busta può contenere 50 o 200 euro, allora la mia busta può contenere 25, 100 o 400 euro" ecc che è falso.
Esatto... bravo!
Mi piace il tuo iter deduttivo... molto simile a quello che ho applicato io al modello di Monty Hall esteso (magari un altro giorno posto il tutto).
E' vero quanto affermi alla fine... però, da bravo venditore di fumo, non potevo presentare un'argomentazione falsa in termini ineccepibili... complimenti per aver superato il tranello con un approccio neutrale.
Direi che adesso la confutazione rigorosa c'è (magari qualcun altro vorrà proporne una differente, chissà).
Mi piace il tuo iter deduttivo... molto simile a quello che ho applicato io al modello di Monty Hall esteso (magari un altro giorno posto il tutto).
E' vero quanto affermi alla fine... però, da bravo venditore di fumo, non potevo presentare un'argomentazione falsa in termini ineccepibili... complimenti per aver superato il tranello con un approccio neutrale.
Direi che adesso la confutazione rigorosa c'è (magari qualcun altro vorrà proporne una differente, chissà).
Grazie!
In effetti una buona parte di questi ragionamenti "controintuitivi" (come pure Monty Hall del resto...) vengono da un modello non ben impostato a priori, che si modifica strada facendo che magari sembra la cosa più naturale da pensare, ma poi se ci si ferma un attimo si vede che "formalmente" il modello esce fuori pieno di incongruenze!
Però è bello starci a pensare
In effetti una buona parte di questi ragionamenti "controintuitivi" (come pure Monty Hall del resto...) vengono da un modello non ben impostato a priori, che si modifica strada facendo
che magari sembra la cosa più naturale da pensare, ma poi se ci si ferma un attimo si vede che "formalmente" il modello esce fuori pieno di incongruenze!Però è bello starci a pensare
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