Probabilità-Geometria-Analisi
Oggi sono impazzito (ma forse lo si era già capito), propongo i seguenti 3 quesiti:
1)Probabilità
Due utenti di Matematicamente vivono nella stessa città e decidono di incontrarsi in un luogo prestabilito alle 18;30. Poichè entrambi sono distratti, dimenticano l'ora dell'incontro. Di conseguenza ciascuno arriva a caso tra le 18 e le 19, aspetta 10 minuti e, se l'altro nel frattempo non arriva, se ne va. Qual è la probabilità che i due utenti passino insieme la serata? (assumere che gli istanti di arrivo siano indipendenti e uniformi)
2)Geometria
Dato un cerchio C e un punto esterno P, consideriamo una coppia di rette secanti C uscenti da P che formano un angolo di 5°. Se i due archetti che le secanti formano con C misurano 2 centimetri (quello più vicino a P) e 4 centimetri, qual è la lunghezza del raggio di C?
3)Analisi
Sia f(x) = arctan[ x^2 - (sen x)^2 ] con x >0.
Stabilire il carattere della serie SUM X_n, sapendo che f(X_n)=1/n per n >= 1.
1)Probabilità
Due utenti di Matematicamente vivono nella stessa città e decidono di incontrarsi in un luogo prestabilito alle 18;30. Poichè entrambi sono distratti, dimenticano l'ora dell'incontro. Di conseguenza ciascuno arriva a caso tra le 18 e le 19, aspetta 10 minuti e, se l'altro nel frattempo non arriva, se ne va. Qual è la probabilità che i due utenti passino insieme la serata? (assumere che gli istanti di arrivo siano indipendenti e uniformi)
2)Geometria
Dato un cerchio C e un punto esterno P, consideriamo una coppia di rette secanti C uscenti da P che formano un angolo di 5°. Se i due archetti che le secanti formano con C misurano 2 centimetri (quello più vicino a P) e 4 centimetri, qual è la lunghezza del raggio di C?
3)Analisi
Sia f(x) = arctan[ x^2 - (sen x)^2 ] con x >0.
Stabilire il carattere della serie SUM X_n, sapendo che f(X_n)=1/n per n >= 1.
Risposte
Ciao a tutti!
1) Io lo risolverei così: chiamiamo A e B i due matematici; la probabilità che si incontrino è, per ogni possibile ora di arrivo di A, legata al fatto che B sia arrivato al massimo 10 minuti prima, cioè 1/6 di ora (è lui che sta aspettando) o dopo (è A che aspetta)...
Allora, siccome la distribuzione di probabilità è uniformente fra le 18 e le 19, la probabilità che A arrivi in un intorno di ampiezza $dt$ centrato intorno a $t$ (che rappresenta il tempo, espresso in ore, a partire dalle 18) è pari a $p(A in Idt(t))=dt/1=dt$ (se $dt$ è espresso in ore). Poi la probabilità che $B$ arrivi in un intorno di $t$ ampio 20 minuti è $P(B\A)$:
-Se $t in [0,1/6]$ $p(B in I2/6(t))=(1/6+t)/1=1/6+t$ (non vale 2/6, perchè prima delle 18 B non può arrivare per ipotesi)
-Se $t in [1/6,5/6]$ $p(B in I2/6(t))=2/6$
-Se $t in [5/6,1]$ $p(B in I2/6(t))=(1/6+(1-t))/1=7/6-t$ (anche qui non vale 2/6, perchè dopo le 19 B non può arrivare per ipotesi)
Quindi, la probabilità che si incontrino è il prodotto delle due(probabilità condizionata), ovvero:
$dP=P(B\A)dt$
Siccome A non è obbligato ad arrivare nell'intorno di $t$ detto sopra, ma può presentarsi dalle 18 alle 19, integriamo quest'espressione (per casi):
$P=int_0^(1)P(B\A)dt=int_0^(1/6)(1/6+t)dt+int_(1/6)^(5/6)(2/6)dt+int_(5/6)^(1)(7/6-t)dt=11/36
Che ne pensate? Scusatemi per la mia soluzione un po' "rozza" nelle puntualizzazioni matematiche
1) Io lo risolverei così: chiamiamo A e B i due matematici; la probabilità che si incontrino è, per ogni possibile ora di arrivo di A, legata al fatto che B sia arrivato al massimo 10 minuti prima, cioè 1/6 di ora (è lui che sta aspettando) o dopo (è A che aspetta)...
Allora, siccome la distribuzione di probabilità è uniformente fra le 18 e le 19, la probabilità che A arrivi in un intorno di ampiezza $dt$ centrato intorno a $t$ (che rappresenta il tempo, espresso in ore, a partire dalle 18) è pari a $p(A in Idt(t))=dt/1=dt$ (se $dt$ è espresso in ore). Poi la probabilità che $B$ arrivi in un intorno di $t$ ampio 20 minuti è $P(B\A)$:
-Se $t in [0,1/6]$ $p(B in I2/6(t))=(1/6+t)/1=1/6+t$ (non vale 2/6, perchè prima delle 18 B non può arrivare per ipotesi)
-Se $t in [1/6,5/6]$ $p(B in I2/6(t))=2/6$
-Se $t in [5/6,1]$ $p(B in I2/6(t))=(1/6+(1-t))/1=7/6-t$ (anche qui non vale 2/6, perchè dopo le 19 B non può arrivare per ipotesi)
Quindi, la probabilità che si incontrino è il prodotto delle due(probabilità condizionata), ovvero:
$dP=P(B\A)dt$
Siccome A non è obbligato ad arrivare nell'intorno di $t$ detto sopra, ma può presentarsi dalle 18 alle 19, integriamo quest'espressione (per casi):
$P=int_0^(1)P(B\A)dt=int_0^(1/6)(1/6+t)dt+int_(1/6)^(5/6)(2/6)dt+int_(5/6)^(1)(7/6-t)dt=11/36
Che ne pensate? Scusatemi per la mia soluzione un po' "rozza" nelle puntualizzazioni matematiche
Per me può andare!
Soluzione interessante e originale la tua!
Riporto anche la seguente soluzione:
i tempi di arrivo $x$ e $y$ dei due utenti sono variabili aleatorie uniformi e indipendenti sull’intervallo [0,1] (l’intervallo di un’ora fra le 18 e le 19), quindi le due variabili aleatorie hanno distribuzione (congiunta) uniforme sul quadrato di vertici (0,0), (1,0), (1,1), (0,1).
Dieci minuti equivalgono ad $1/6$ di ora, quindi i due si incontreranno se
|y-x|<=1/6
questo insieme individua sul quadrato un’area pari a $(11)/(36)$ che è appunto la probabilità trovata da Cecil_Hollorand
visto che sei di Torino: forza Juve!!
Soluzione interessante e originale la tua!
Riporto anche la seguente soluzione:
i tempi di arrivo $x$ e $y$ dei due utenti sono variabili aleatorie uniformi e indipendenti sull’intervallo [0,1] (l’intervallo di un’ora fra le 18 e le 19), quindi le due variabili aleatorie hanno distribuzione (congiunta) uniforme sul quadrato di vertici (0,0), (1,0), (1,1), (0,1).
Dieci minuti equivalgono ad $1/6$ di ora, quindi i due si incontreranno se
|y-x|<=1/6
questo insieme individua sul quadrato un’area pari a $(11)/(36)$ che è appunto la probabilità trovata da Cecil_Hollorand
visto che sei di Torino: forza Juve!!
[Vedi figura]
Essendo M'NN' angolo esterno del triangolo PNM',si ha:
$x=a+x/2->x=2a=10°=pi/18$
Pertanto:
raggio=arco(MN)/x=$2/((pi/(18)))=36/(pi)$=11,46 (cm).
Archimede
Archimede, che dire, sei un grande!!
Grande Archimede 
Per Piera: la tua soluzione è veramente più incisiva ed arguta della mia... ripensando a quanto hai detto, mi accorgo che io ho integrato per strisce il luogo di punti da te individuato!
Complimenti a tutti, io pago un pochino la mancanza di basi teoriche oltre ad un certo livello (analisi 1 e 2, statistica e geometria) del Poli... appena avrò tempo voglio approfondire le mie conoscenze. Voi fate da autodidatti?
P.S. Son del Milan Piera
Per Piera: la tua soluzione è veramente più incisiva ed arguta della mia... ripensando a quanto hai detto, mi accorgo che io ho integrato per strisce il luogo di punti da te individuato!
Complimenti a tutti, io pago un pochino la mancanza di basi teoriche oltre ad un certo livello (analisi 1 e 2, statistica e geometria) del Poli... appena avrò tempo voglio approfondire le mie conoscenze. Voi fate da autodidatti?
P.S. Son del Milan Piera
Ah, sei milanista!!
Allora la tua soluzione non mi piace più!! (SCHERZO)
Quella che ho proposto non è la mia soluzione , ed effettivamente è piuttosto incisiva.
Io sono laureato in Scienze statistiche ed economiche non è che ne sappia un granchè di matematica...
comunque si, qualcosa (poco però) ho approfondito per conto mio.
Allora la tua soluzione non mi piace più!! (SCHERZO)
Quella che ho proposto non è la mia soluzione , ed effettivamente è piuttosto incisiva.
Io sono laureato in Scienze statistiche ed economiche non è che ne sappia un granchè di matematica...
comunque si, qualcosa (poco però) ho approfondito per conto mio.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo