Probabilità, che sia un gioco: X
[con X grande a piacere]
buongiorno a tutti.
vorrei sottoporre ai bravi matematici che passano da queste parti un piccolo quiz riguardante il calcolo di probabilità.
non ne conosco la soluzione, però mi occorre! (quindi più che un gioco è un problema. un mio problema)
per chi si vorrà cimentarsi, vale quanto un quiz, però, no?
poniamo che io abbia un contenitore con N oggetti (per esempio 20).
poniamo che io debba estrarne un set di X (per esempio 12).
se non sbaglio, la probabilità che un oggetto finisca nel set è $X/N$ (ad esempio: $12/20=60%$).
se ripeto l'estrazione una seconda volta, la probabilità che l'oggetto di prima sia ripescato è data da $X^2/N^2$ (= 36% nell'esempio). giusto?
le probabilità che quell'oggetto sia stato pescato 3 volte consecutive sono $X^3/N^3$ ( $(12/20)^3 = 21,6%$ ) . ecc.
corretto, fin qui?
anche se non lo fosse (e correggetemi, nel caso!), il mio problema va oltre.
ovvero: come posso calcolare la probabilità che un IDENTICO set di X oggetti possa riaversi in un'estrazione successiva? (non necessariamente quella immediatamente dopo, ma in una qualunque altra facendo ad esempio 10 tentativi)?
nota: non conta l'ordine di estrazione, ma solo che proprio quei 12 oggetti (nell'esempio) siano ripescati una seconda volta.
a conoscere le leggi della probabilità meglio di come le conosco io, penso che la risposta sia semplice.
chi la sa?
grazie in anticipo per qualunque contributo alla risoluzione.
(per chiarire meglio cosa vado cercando, postillo il mio problema reale: dato un insieme di 20 domande, dovendone proporre 12 alla volta in un quiz per un indefinito numero di tentativi, quante probabilità ci sono che vengano pescate le stesse 12 domande in 2 differenti tentativi? ovvero, quanti set (tentativi) occorrono prima che l'evento si ripeta? è ragionevole pensare che sia un numero di tentativi "ragionevolmente alto", oppure 20 domande sono poche per questa randomizzazione?)
buongiorno a tutti.
vorrei sottoporre ai bravi matematici che passano da queste parti un piccolo quiz riguardante il calcolo di probabilità.
non ne conosco la soluzione, però mi occorre! (quindi più che un gioco è un problema. un mio problema)
per chi si vorrà cimentarsi, vale quanto un quiz, però, no?
poniamo che io abbia un contenitore con N oggetti (per esempio 20).
poniamo che io debba estrarne un set di X (per esempio 12).
se non sbaglio, la probabilità che un oggetto finisca nel set è $X/N$ (ad esempio: $12/20=60%$).
se ripeto l'estrazione una seconda volta, la probabilità che l'oggetto di prima sia ripescato è data da $X^2/N^2$ (= 36% nell'esempio). giusto?
le probabilità che quell'oggetto sia stato pescato 3 volte consecutive sono $X^3/N^3$ ( $(12/20)^3 = 21,6%$ ) . ecc.
corretto, fin qui?
anche se non lo fosse (e correggetemi, nel caso!), il mio problema va oltre.
ovvero: come posso calcolare la probabilità che un IDENTICO set di X oggetti possa riaversi in un'estrazione successiva? (non necessariamente quella immediatamente dopo, ma in una qualunque altra facendo ad esempio 10 tentativi)?
nota: non conta l'ordine di estrazione, ma solo che proprio quei 12 oggetti (nell'esempio) siano ripescati una seconda volta.
a conoscere le leggi della probabilità meglio di come le conosco io, penso che la risposta sia semplice.
chi la sa?
grazie in anticipo per qualunque contributo alla risoluzione.
(per chiarire meglio cosa vado cercando, postillo il mio problema reale: dato un insieme di 20 domande, dovendone proporre 12 alla volta in un quiz per un indefinito numero di tentativi, quante probabilità ci sono che vengano pescate le stesse 12 domande in 2 differenti tentativi? ovvero, quanti set (tentativi) occorrono prima che l'evento si ripeta? è ragionevole pensare che sia un numero di tentativi "ragionevolmente alto", oppure 20 domande sono poche per questa randomizzazione?)
Risposte
Devi iniziare a vedere in quanti modi puoi pescare quei 12 oggetti dall'insieme di 30 (senza contare l'ordine). Puoi farlo in $k=((30),(12))=(30!)/(12!*18!)$ modi. Ora sai che all'estrazione successiva avrai una probabilità $p_1=1/k$ di ri-estrarre gli stessi 12 elementi.
Se invece (riprendendo l'esempio del quiz) mi fai 12 domande a me e poi intervisti (ognuno sempre 12 domande) altre $n$ persone, allora la probabilità che ricapitino esattamente le mie stesse 12 domande:
-almeno una volta: $p_n=1-(1-1/k)^(n)$
-esattamente una volta: $p_n= (1/k)*(1-1/k)^{n-1}*((n),(1))$.
-almeno una volta: $p_n=1-(1-1/k)^(n)$
-esattamente una volta: $p_n= (1/k)*(1-1/k)^{n-1}*((n),(1))$.
grazie dello spunto.
quindi sarebbe 30 su 125970 se il quiz fosse tentato 30 volte? 0,023% che in 30 tentativi si ottenga 2 volte lo stesso set di domande? ho ragionato bene?
[$125970 = {20!}/(12!*8!)$]
(OT: bello il tuo "Non è bello ciò che è bellico ma è bello ciò che è pace."…)
quindi sarebbe 30 su 125970 se il quiz fosse tentato 30 volte? 0,023% che in 30 tentativi si ottenga 2 volte lo stesso set di domande? ho ragionato bene?
[$125970 = {20!}/(12!*8!)$]
(OT: bello il tuo "Non è bello ciò che è bellico ma è bello ciò che è pace."…)
[OOT: hai notato che la tua risposta è anche il tuo post 666? se non è cabala questa… 
]
]
Ahah. 
[ot]Guarda che esiste una funzione apposita per gli OT, questa[/ot]
[ot]Guarda che esiste una funzione apposita per gli OT, questa[/ot]
Comunque è diverso dire :"in 30 volte si ripete due volte la stessa combinazione" e "nelle 29 successive volte si ripete ancora quella uscita la prima volta".
In linea generale io ti ho risposto alla seconda.
Ti faccio un esempio:
Tiro 5 volte un dado:
1) Per calcolare la probabilità che esca almeno due volte lo stesso numero calcolo la complementare:
La probabilità che escano 5 numeri diversi è data da $y=(5/6)*(4/5)*(3/4)*(1/2)$. Quindi la probabilità che esca almeno due volte uno stesso numero è data da $1-y$.
2) La prima volta esce un sei. Ora per calcolare la probabilità che riesca almeno una volta devo calcolare come prima la complementare e quindi risulta $y=1-(5/6)^4$.
Alla fine, qual è la differenza?
Che nel primo caso devono essere tutte e cinque diverse tra di loro (quindi 1-2-3-6-2 non va bene).
Nel secondo devono essere la seconda, terza, quarta e quinta diverse dalla prima (quindi 1-2-3-6-2 andrebbe bene).
È chiaro ora?
In linea generale io ti ho risposto alla seconda.
Ti faccio un esempio:
Tiro 5 volte un dado:
1) Per calcolare la probabilità che esca almeno due volte lo stesso numero calcolo la complementare:
La probabilità che escano 5 numeri diversi è data da $y=(5/6)*(4/5)*(3/4)*(1/2)$. Quindi la probabilità che esca almeno due volte uno stesso numero è data da $1-y$.
2) La prima volta esce un sei. Ora per calcolare la probabilità che riesca almeno una volta devo calcolare come prima la complementare e quindi risulta $y=1-(5/6)^4$.
Alla fine, qual è la differenza?
Che nel primo caso devono essere tutte e cinque diverse tra di loro (quindi 1-2-3-6-2 non va bene).
Nel secondo devono essere la seconda, terza, quarta e quinta diverse dalla prima (quindi 1-2-3-6-2 andrebbe bene).
È chiaro ora?
"kobeilprofeta":
È chiaro ora?
uhm. non tanto.
vedi, quello che non riesco a comprendere è come applicare tutto ciò nel caso mio specifico.
perché, un conto è parlare della moneta (o testa o croce) o dei dadi (1 numero su 6).
nel mio caso devo calcolare:
1. la probabilità che un numero venga riestratto, sapendo che i numeri totali (le facce del dado) sono 20 ma che ogni estrazione ha 12 facce a sua volta! per come la vedo io, è come se ogni "estrazione" fossero in realtà 12 estrazioni in un colpo, dal punto di vista del numero singolo.
2. trovato questo, dovrei poi capire come "sommare" queste probabilità per conoscere, su X lanci, le:
- $p_1$ probabilità che esca di nuovo 1 numero già uscito
- $p_2$ probabilità che esca di nuovo una coppia già uscita
- $p_3$ probabilità che esca di nuovo un tris già uscito
- $p_4$ probabilità che esca di nuovo un poker già uscito
…
- $p_12$ probabilità che esca di nuovo la dozzina già uscita
ecco, è un po' come dire: date 30 mani di poker classico, quali sono le probabilità che le carte in mano a un giocatore (che gioca da solo!) siano le stesse in almeno 2 mani? (1 uguale, o 2 uguali, o 3 uguali, o 4 uguali o addirittura le stesse 5 in 2 mani differenti, non importa quanto distanti tra loro, fossero pure la prima e l'ultima).
magari mi hai risposto, ma la mia consocenza della materia non mi ha permesso di capirlo…
grazie della pazienza…
Ok, penso di averti già risposto. Matematicamente è uguale il lancio di un dado o la scelta di 12 domande su 30 disponibili. Solo che cambiano le possibili combinazioni (e quindi le probabilità).
Nel caso del lancio di un dado le "possibilità" (eventi) sono 6, nel caso delle domande gli eventi sono $c=(30!)/(12!*18!)=86493225$.
Quindi se tu intervisti $n$ persone, la probabilità che esca almeno due volte lo stesso set di domande è pari a: $p=1-[((k-1)/k)*((k-2)/k)*((k-3)/k)*...*((k-n+1)/k)]$. La probabilità che esca esattamente / volte lo stesso set di domande (ma qui nom ne sono sicurissimo) è $p_2=(1/k)^2*(1-1/k)^{n-2}*((n!)/((n-2)!*2))*k=(1/k)*(1-1/k)^{n-2}*((n!)/((n-2)!*2))$
Nel caso del lancio di un dado le "possibilità" (eventi) sono 6, nel caso delle domande gli eventi sono $c=(30!)/(12!*18!)=86493225$.
Quindi se tu intervisti $n$ persone, la probabilità che esca almeno due volte lo stesso set di domande è pari a: $p=1-[((k-1)/k)*((k-2)/k)*((k-3)/k)*...*((k-n+1)/k)]$. La probabilità che esca esattamente / volte lo stesso set di domande (ma qui nom ne sono sicurissimo) è $p_2=(1/k)^2*(1-1/k)^{n-2}*((n!)/((n-2)!*2))*k=(1/k)*(1-1/k)^{n-2}*((n!)/((n-2)!*2))$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo