Primi nella forma $4n+3$

[Steven11]

Ciao a tutti,
ho un quesito che non vedo, al momento, come poter risolvere:
"Dimostra che i primi nella forma $4n+3$ sono infiniti"
Secondo voi qual'è l'approccio più giusto, se devo affrontarlo con metodi elementari?

Aspetto risposte, un grazie a tutti anticipatamente
Ciao

[TomSawyer1]

http://nrich.maths.org/askedNRICH/edited/3439.html

[Steven11]

Ciao,
grazie per il link, anche se in ritardo
Una cosa: ho visto che due volte viene usata la notazione <> (nella fattispecie $r<>2$)
Mi è parso che significa $r!=2$, volevo giusto sapere se si usa in qualche caso particolare visto che è una scrittura che non ho mai visto.
Buona giornata

[TomSawyer1]

Viene usata in alcuni linguaggi di programmazione per indicare il $\ne$; qui l'hanno usata perche' disponevano solo di simboli ASCII, e non di GIF per il LaTeX.
Comunque, sul forum c'e' la dimostrazione di questo fatto in vari topic.

[Steven11]

Ah ok, capito.
Quanto alla dimostrazione, non ricordo di averla mai vista: sicuramente risale a prima che mi iscrivessi.
Grazie per la disponibilità, buon weekend

[Iacopo1]

Una dimostrazione si trova a pag.33 di 'Aritmetica superiore' di Davenport, dove si dimostra che anche i primi del tipo 4n+1 sono infiniti.
D'altra parte, se così non fosse non potrebbero nemmeno esserci infiniti 'gemelli', cosa che nessuno ha finora dimostrato, ma che molti ritengono vera.

[Benny24]

Volendo invece di $4n+3$ si potrebbe scriverlo come 4n-1 con n>0, così che si ha che $4n+-1$ genera infiniti numeri primi

[Eudale]

Ora, non vorrei fare il guastafeste e molto probabilmente non ho capito bene come deve essere impostato il problema:

se $n = 3$ allora $4*3+3=15$ Non è un numero primo. Correggetemi se sbaglio e non fustigatemi!

[Benny24]

Nessuno ti fustigherà...solo che evidentemente hai interpretato male i post

$4n+3$ è un'espressione che genera infiniti numeri primi, ma non solo quelli
Credo non si sia mai trovata una funzione in grado di generare solo numeri primi...e se è stata creata sicuramente non è così banale

[Eudale]

Mah, da quel che ho capito questa funzione l'hanno trovata. Un certo Louis De Branges ha dato una dimostrazione reperibile qui:

http://www.math.purdue.edu/~branges/riemannzeta.pdf

Praticamente dice di usare la funzione Zeta e i suoi zeri sono numeri primi... Non so se è valida la dimostrazione... Boh...

[Benny24]

beh, certa è una funzione famosissima, se non sbaglio i suoi zeri corrisponderebbero solo a numeri primi e non ne mancherebbe neanche uno. però è stata scoperta nell'800 e ancora oggi non si è riusciti a trovare una dimostrazione inconfutabile della sua validità. l'avevo esclusa per questo nella mie considerazioni

[Eudale]

E' proprio la congettura di Riemann! (si scrive cosi?) Il file che ho allegato contiene la "dimostrazione" a risolvere il mistero dei numeri primi!

[Gabriel6]

Non so cosa sia stato scritto nelle pagine linkata dagli altri utenti intervenuti sul topic, ma la dimostrazione si scrive in poche righe, per cui ... Supponiamo che l'insieme $S = \{p \in \mathbb{N}: p$ è primo e $p \equiv 3 (\mod 4)\}$ sia finito. Posto $n = |S|$, denotiamo, quindi, con $p_1, p_2, \ldots, p_n$ i suoi elementi e consideriamo l'intero $m = 2(p_1 p_2 \ldots p_n)^2 + 1$. Poiché $m \ge 2$ e $\gcd(m,2p_i) = 1$, per ogni $i = 1, 2, \ldots, n$, necessariamente $m = \prod_{i=1}^r q_i$, per opportuni primi $q_1, q_2, \ldots, q_r \equiv 1 (\mod 4)$. Allora $3 \equiv m \equiv 1 (\mod 4)$. Assurdo! Da qui la conclusione che $S$ non può che essere infinito. []