Primi

[fu^2]

dimostrare che ogni numero primo diverso da due si può scrivere come differenza di due quadrati di interi.

[_luca.barletta]

Si chiede di mostrare che
$p=a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
con $a,b in NN$, $p>2$ primo. Gli unici fattori di p sono quelli triviali 1 e p, quindi
${(a+b=p),(a-b=1):}$
che risolto fornisce
$a=(p+1)/2, b=(p-1)/2$
infatti
$a^2-b^2=(p^2+2p+1)/4-(p^2-2p+1)/4=(4p)/4=p$

[fields1]

Ogni numero dispari è banalmente differenza di quadrati: $2n+1=(n+1)^2-n^2$

[Aethelmyth]

Vado per il banale. Assunto che la somma dei primi $n$ numeri dispari è un quadrato perfetto (e forse dovrei dimostrare questo prima ) ogni primo $p$ diverso da 2 è sicuramente dispari ed esprimibile come $(sum_(i=1)^((p-1)/2) 2i+1 )- (sum_(i=1)^((p-3)/2)2i+1)$, entrambe le sommatorie quadrati perfetti interi.

[thelawyer1]

Ed un non primo dispari Q, è la differenza di due quadrati non immediatamente consecutivi A^2 e B^2, e B-A è uno dei fattori di Q, ed il dispari medio tra i due quadrati è un altro dei fattori di Q.
Infatti un primo P, ovviamente dispari, può essere differenza solo e soltanto di due quadrati immediatamente consecutivi.
Ecco una piccola provocazione:
Siano A e B interi, ed A < B, e B - A = m.
(B^n - A^n) / m = p. Quesito: p sempre intero?

[TomSawyer1]

"thelawyer":Ecco una piccola provocazione:
Siano A e B interi, ed A < B, e B - A = m.
(B^n - A^n) / m = p. Quesito: p sempre intero?

Sempre, per $n$ intero positivo. E' una fatto noto a tutti, penso.

[vl4dster]

@thelawyer:
basta ricordare che
$a^n-b^n = (a-b)\sum_{i=0}^{n-1}a^{n-i} b^i$

[thelawyer1]

vl4d
Più sintetico di così....
ineccepibile.

Ancora un giochino. Ho scopertto che c'è un bel rapporto costante nelle successioni di potenze.
sia $a^n$ intero nel set $Z^n$ . Siano $Delta_1$ , $Delta_2$, $Delta_3$ ... il primo, secondo, terzo ... termine della differenza di primo ordine di $Z^n$.
Ho visto che

$(Delta_1) / [(2a)^n - (a^n)]$ = $(Delta_2) / [(3a)^n - (2a^n)]$ = $(Delta_3) / [(4a)^n - (3a^n)]$ = ... = $ 1 / a^n$

per ogni $n>1$ intero.

Perché è sempre vero?

[TomSawyer1]

Che insieme è $Z^n$? Posso intuire che si tratta degli interi, ma sicuramente non intendi quello che si intende di solito con $ZZ^n$.

[thelawyer1]

$Z$ è il set degli interi. e $Z^n$ il set costruito con $n>1$ intero
Ma il ragionamento è valido per qualsiasi set di partenza, costruito con una costante additiva, anche non intera, e poi elevando ad $n$ i suoi termini.