\( p^{q+1}+ q^{p+1} \) è quadrato perfetto
Trovare tutte le coppie $(p,q)$ di numeri primi tali che $p^(q+1)+q^(p+1)$ è un quadrato perfetto
Risposte
Beh, la coppia $(2,2)$ funziona ... 
Caso 1 (p e q dispari):
Si vede subito che non ci sono soluzioni, infatti se esistessero sarebbero terne pitagoriche primitive, ma tutte le terne pitagoriche possibili sono del tipo $(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)$ quindi si avrebbe che uno dei due primi è divisibile per 2, assurdo.
Caso 2 (p dispari e q=2):
Quindi $(h+2^{\frac{p+1}{2}})( h-2^{\frac{p+1}{2}})=p^3$ qui abbiamo principalmente due possibilità (essendo i fattori coprimi fra loro) $$p=h-2^{\frac{p+1}{2}}$$ e $$1= h-2^{\frac{p+1}{2}}$$
dalla prima si ha $h^2=p^2+p2^{ \frac{p+3}{2}}+2^{p+1}=p^3+2^{p+1}$, ovvero $p^2+ p2^{ \frac{p+3}{2}}=p^3$ che non è possibile.
Dalla seconda invece segue con un pò di calcoli $p^3-2^{\frac{p+3}{2}}=1$ ma $2^{\frac{p+3}{2}} \leq p^3$ vale solo per un certo range e si verifica che ogni primo che soddisfa quella disuguaglianza non è soluzione dell'equazione.
caso 3 (p=2 e q=2): L'unica soluzione.
Si vede subito che non ci sono soluzioni, infatti se esistessero sarebbero terne pitagoriche primitive, ma tutte le terne pitagoriche possibili sono del tipo $(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)$ quindi si avrebbe che uno dei due primi è divisibile per 2, assurdo.
Caso 2 (p dispari e q=2):
Quindi $(h+2^{\frac{p+1}{2}})( h-2^{\frac{p+1}{2}})=p^3$ qui abbiamo principalmente due possibilità (essendo i fattori coprimi fra loro) $$p=h-2^{\frac{p+1}{2}}$$ e $$1= h-2^{\frac{p+1}{2}}$$
dalla prima si ha $h^2=p^2+p2^{ \frac{p+3}{2}}+2^{p+1}=p^3+2^{p+1}$, ovvero $p^2+ p2^{ \frac{p+3}{2}}=p^3$ che non è possibile.
Dalla seconda invece segue con un pò di calcoli $p^3-2^{\frac{p+3}{2}}=1$ ma $2^{\frac{p+3}{2}} \leq p^3$ vale solo per un certo range e si verifica che ogni primo che soddisfa quella disuguaglianza non è soluzione dell'equazione.
caso 3 (p=2 e q=2): L'unica soluzione.
Ho solo un paio di osservazioni:
A parte queste due cose, mi sembra tutto corretto. Bravo
"dan95":Perché primitive?
Caso 1 (p e q dispari):
Si vede subito che non ci sono soluzioni, infatti se esistessero sarebbero terne pitagoriche primitive...
"dan95":Perché i fattori sono coprimi tra loro?
Caso 2 (p dispari e q=2):
Quindi $(h+2^{\frac{p+1}{2}})( h-2^{\frac{p+1}{2}})=p^3$ qui abbiamo principalmente due possibilità (essendo i fattori coprimi fra loro) ...
A parte queste due cose, mi sembra tutto corretto. Bravo
1) Perché $a=p^{\frac{q+1}{2}}$ e $b=q^{\frac{p+1}{2}}$ sono coprimi se diversi, se sono uguali è chiaro che non è un quadrato perché c'è un due di troppo.
2) Il loro MCD deve dividere la differenza o la somma fra i due fattori ma in entrambi i casi viene fuori che i possibili MCD sono 1 o 2, quest'ultimo viene scartato in quanto $p$ è dispari.
2) Il loro MCD deve dividere la differenza o la somma fra i due fattori ma in entrambi i casi viene fuori che i possibili MCD sono 1 o 2, quest'ultimo viene scartato in quanto $p$ è dispari.
1) ok, ma bisogna dirlo.
2) continuo a non capire:
se $p^3 = (h+2^( (p+1)/2 ))(h-2^( (p+1)/2 ))$, allora abbiamo due possibilità:
${(h+2^( (p+1)/2 )=p^3),(h-2^( (p+1)/2 )=1):}$ oppure ${(h+2^( (p+1)/2 )=p^2),(h-2^( (p+1)/2 )=p):}$
quali sono i due fattori coprimi?
2) continuo a non capire:
se $p^3 = (h+2^( (p+1)/2 ))(h-2^( (p+1)/2 ))$, allora abbiamo due possibilità:
${(h+2^( (p+1)/2 )=p^3),(h-2^( (p+1)/2 )=1):}$ oppure ${(h+2^( (p+1)/2 )=p^2),(h-2^( (p+1)/2 )=p):}$
quali sono i due fattori coprimi?
$h+2^{\frac{p+1}{2}}$ e $h-2^{\frac{p+1}{2}}$
Quindi abbiamo solo una possibilità:
$h-2^{\frac{p+1}{2}}=1$
e non due come ho detto nel post precedente, scusa errore mio.
Quindi abbiamo solo una possibilità:
$h-2^{\frac{p+1}{2}}=1$
e non due come ho detto nel post precedente, scusa errore mio.
Non puoi dire che sono coprimi, in generale
Si che puoi, supponiamo $d=MCD(h+2^{\frac{p+1}{2}},h-2^{\frac{p+1}{2}})>1$
Allora $d | h+2^{\frac{p+1}{2}}+h-2^{\frac{p+1}{2}}=2h$ quindi $d$ o divide $h$, ovvero $MCD(h+2^{\frac{p+1}{2}},h)>1$ assurdo poiché $h$ e $2$ sono coprimi, o $d=2$ che non è possibile per lo stesso motivo.
Allora $d | h+2^{\frac{p+1}{2}}+h-2^{\frac{p+1}{2}}=2h$ quindi $d$ o divide $h$, ovvero $MCD(h+2^{\frac{p+1}{2}},h)>1$ assurdo poiché $h$ e $2$ sono coprimi, o $d=2$ che non è possibile per lo stesso motivo.
Stai dicendo che se $d| 2 h$ (con $h$ dispari), allora necessariamente $d=1$?Io direi che ci sono anche altre possibilità: $d=2$, $d=h$, d=2h$ ad esempio.
Ho modificato il post per spiegare meglio il "sottile" passaggio
ok, direi che ci sta, anche se ho fatto un po' di fatica a seguire (soprattutto vista l'ora 
)
Io avrei detto così: (ricordo che $p^3 +2^(p+1)=h^2$, con $p$ dispari)
supponiamo per assurdo che $h-2^{(p+1)/2}$ e $h+2^{(p-1)/2}$ non siano coprimi.
Sia $q$ un primo che divide entrambi. Allora $q$ divide il loro prodotto, che è $h^2-2^(p+1)=p^3$, cioè $q=p$.
Dunque $p$ divide $(h-2^{(p+1)/2} )+(h+2^{(p+1)/2})$, cioè $p| 2 h$, da cui $p|h$ (perché $p$ è dispari).
Quindi $p | h^2-p^3 = 2^(p+1)$, cioè $p=2$, assurdo.
)Io avrei detto così: (ricordo che $p^3 +2^(p+1)=h^2$, con $p$ dispari)
supponiamo per assurdo che $h-2^{(p+1)/2}$ e $h+2^{(p-1)/2}$ non siano coprimi.
Sia $q$ un primo che divide entrambi. Allora $q$ divide il loro prodotto, che è $h^2-2^(p+1)=p^3$, cioè $q=p$.
Dunque $p$ divide $(h-2^{(p+1)/2} )+(h+2^{(p+1)/2})$, cioè $p| 2 h$, da cui $p|h$ (perché $p$ è dispari).
Quindi $p | h^2-p^3 = 2^(p+1)$, cioè $p=2$, assurdo.
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