Potenze di 2

[Pachisi]

Trovare tutte le potenze di $2$ tali che, se eliminiamo la prima cifra (a sinistra), abbiamo ancora una potenza di $2$.

[superpippone]

A parte 32 e 64 non ne trovo altre...

[Pachisi]

Confermo che sono le uniche. Tocca dimostrarlo ora...

[axpgn]

Butto lì delle considerazioni, spero possano essere utili a qualcuno ...

In pratica il problema si può sintetizzare così $2^p-d*10^k=2^q$ con $p>q$ e anche $p>k$ mentre $d$ è una delle nove cifre decimali, ovvero $2^p-2^q=d*10^k\ =>\ 2^q(2^(p-q)-1)=d*10^k=d*2^k*5^k$.
Da ciò si evince che l'espressione tra parentesi è dispari e se divido tutto per $2^q$ anche il quoziente della divisione a destra deve esser dispari; perché ciò accada significa che $q$ deve essere pari a $k$ più gli eventuali $2$ fattori di $d$.
Se cio è possibile a destra rimane $d'*5^k$ con $d'$ cifra dispari.
Ragionando ricorsivamente sulle cifre finali delle potenze di $5$ e delle potenze di $2$ si trova, in prima battuta, che deve essere $p-q=4m$ e poi, approfondendo successivamente, che $p-q=20n$, $p-q=100r$, $p-q=500s$ e così via ... e basta, per me ...

Cordialmente, Alex

[Pachisi]

Tutto giusto, pero` quando arrivi a $p-q=4m$, sostituendo nella tua equazione iniziale trovi $2^q(2^(4m)-1)=d \cdot 10^k$. Consiglio di scomporre e ragionare sui fattori primi del LHS e RHS

[axpgn]

Un passettino in più ...

Come detto. affinché esistano soluzioni deve essere $2^(p-q)-1=d'*5^k$ da cui discende che il membro di sinistra deve essere multiplo di $5$; questo è possibile se $p-q=4m$.
Però ... non solo deve essere divisibile per $5$ ma deve esserlo $k$ volte, invece mi pare possa esserlo solo una ...

Cordialmente, Alex

[Pachisi]

Posto la dimostrazione, nel caso qualcuno fosse interessato.

Dal post precedente abbiamo $2^q(2^(4m)-1)=d\cdot10^k$. Ovviamente $1 \le d \le 9$. Quindi, il membro sinistro avrà al massimo 2 fattori dispari primi distinti. Notiamo che $2^(4m)-1=(2^(2m)+1)(2^(2m)-1)=(2^(2m)+1)(2^m-1)(2^m+1)$. Ora, essendo $2^(2m)-1$ e $2^(2m)+1$ due dispari consecutivi, saranno coprimi. Essendo $2^(2m)-1=(2^m-1)(2^m+1)$, ed essendo $2^m-1$ e $2^m+1$ coprimi (sono dispari consecutivi), $(2^(2m)+1)(2^m-1)(2^m+1)$ sono tre dispari coprimi. Dunque, il membro destro dell'equazione iniziale ha almeno 3 fattori dispari primi distinti.
Se $m>1$ allora, per quanto detto sopra, non abbiamo soluzioni.
Se $m=1$, abbiamo $2^q\cdot3\cdot5=d\cdot10^k$. Allora $k=1$, quindi $2^q\cdot3\cdot5=10d$. Ossia, $d=2^(q-1)\cdot3$. Essendo $1 \le d \le 9$, $d=3$ o $d=6$. Quindi, le uniche soluzioni sono $32$ e $64$.