Potenza quinta

[giambax]

Mirco prende un numero $a$, poi prende tutti i suoi divisori e li moltiplica e sorprendentemente ottiene esattamente $a^{5}$. Quanti divisori possiede $a $?

[dan952]

Ho trovato una classe di numeri
- $a=p^9$ con $p$ primo
Quindi direi 10 divisori o solo un divisore nel caso $a=1$

[giambax]

Ok, la risposta è giusta dan95, ma qualcuno sa trattare il caso generale? (ossia un numero che non sia neccessariamente una potenza di un primo).

[axpgn]

Se un numero $n$ ha $d$ divisori allora il prodotto di suoi divisori è $sqrt(n^d)$ quindi nel nostro caso è $10$

Cordialmente, Alex

[giambax]

Grazie Alex.
Una dimostrazione di questa cosa?

[axpgn]

Sono abbastanza sicuro di averla già scritta da qualche parte, comunque eccola ...

Poniamo che l'intero $n$ abbia $m$ divisori, allora sarà $n=d_i*d_(m-i+1)$ cioè $n=d_1*d_m=d_2*d_(m-1)=...$
Chiamiamo $p$ il prodotto dei divisori di $n$ quindi $p^2=(d_1*d_2*...*d_m)(d_1*d_2*...*d_m)=(d_1*d_m)(d_2*d_(m-1))*...(d_m*d_1)$ ovvero $p^2=n^m$ da cui $p=sqrt(n^m)$

Cordialmente, Alex

[giambax]

Molto interessante, grazie Alex!!

[dan952]

Sì mi ricordo che ne avevamo parlato di quella dimostrazione ma non trovo più il post ne mi ricordavo la dimostrazione