Polinomio e valutazioni.

[salvozungri]

Sia $p(x)$ un polinomio di grado 6 monico di cui conosciamo alcuni valori, in particolare:

$p(n)=n, " per " n\in {0,1,2,3,4,5}$ quanto vale $p(6)$?

E' un esercizio molto simpatico che ho trovato in rete! Beh provateci

[giacor86]

anche qui... colgo l'occasione per fare una brutta figura (considerate sempre che non ho MAI visto teoria dei numeri nè aritmetica modulare, nè matematica discreta).. Cosa vuol dire 0mod3?

[Paolo902]

"giacor86":Cosa vuol dire 0mod3?

Dire che $x\equiv 0 mod 3$ significa che $x$, diviso per $3$, dà resto $0$. In poche parole, $x$ è un multiplo di $3$ ($exists k in ZZ | x=3k$).
Si legge "x congruo a zero modulo tre".



P.S. Cerca un po' aritmetica modulare in giro per il web: ti si aprirà un mondo .

[salvozungri]

Soluzione

$p(1)=3$ e $p(3)=1$ implicano:
$p(1)-3p(3)=0$. Prendiamo in esame ora il polinomio $q(x)=p(x)-3p(2+x)$, ovviamente per ipotesi $x=1$ è una radice di $q(x)$ e dunque:
$q(x)= (x-1)r(x)$ con $r(x)\in \mathbb{Z}[x]$ con $"deg"(r)<"deg"(q)$ (<= questa informazione credo sia superflua).
Valuto $q(4)= p(4)-3p(6)= 3r(4)=> p(4)= 3(p(6)+r(4))\equiv 0"mod"3$

Credo funzioni

[size=75]Edit: corrette alcune inesattezze.[/size]

[Paolo902]

L'alternativa più brutale e molto meno elegante :

$q(x)=p(x)+x-4$. Si nota subito che $1$ e $3$ sono zeri di $q(x)$, quindi con Ruffini, visto che $q(x)$ per ipotesi è a coefficienti interi:
$q(x)=(x-1)(x-2)r(x)$
dove $r(x)$ è un opportuno polinomio anche lui a coefficienti interi.

Dall'ultima uguaglianza, si deduce che
$p(x)=(x-1)(x-3)r(x)-x+4$

da cui $p(4)=3*r(4)=3k$, con $k in ZZ$ perchè come già osservato $r(x)$ è a coefficienti interi, quindi $r(4)$ è ancora intero.

[Paolo902]

Variazione libera sul tema (solo per chi vuole): $p(x)$ sempre a coefficienti interi, con $p(13)=31$ e $p(15)=51$. Che cosa si può dire di $p(17)$?

[blackbishop13]

"Paolo90":Variazione libera sul tema (solo per chi vuole): $p(x)$ sempre a coefficienti interi, con $p(13)=31$ e $p(15)=51$. Che cosa si può dire di $p(17)$?

Solo per chi vuole?

io ho scopiazzato il tuo metodo, ed in questo caso ottengo che $p(17)\bar{=}7 (mod 8)$...

non mi sembra un risultato particolarmente significativo, penso di non aver colto ciò che ti aspettavi..
comunque a questo risultato sono giunto trovando come hai fatto tu un $q(x)$$ /$$13$ e $15$ sono radici, e lì è stata l'unica cosa interessante nel mio ragionamento, perchè mi salta fuori un bel $q(x)=p(x)+x-11(x-9)=p(x)-10x+99$

[Paolo902]

"blackbishop13":[quote="Paolo90"]Variazione libera sul tema (solo per chi vuole): $p(x)$ sempre a coefficienti interi, con $p(13)=31$ e $p(15)=51$. Che cosa si può dire di $p(17)$?

Solo per chi vuole?

io ho scopiazzato il tuo metodo, ed in questo caso ottengo che $p(17)\bar{=}7 (mod 8)$...

non mi sembra un risultato particolarmente significativo, penso di non aver colto ciò che ti aspettavi..
[/quote]

Tranquillo, hai fatto centro . So che non è nulla di particolarmente significativo, ed è proprio per quello che ho scritto "solo per chi vuole" .

Se volete posso ancora rilanciare una volta, con una piccola generalizzazione.. ma solo se volete .

[salvozungri]

Adoro le generalizzazioni

[Paolo902]

"Mathematico":Adoro le generalizzazioni

Tutta tua .

$p(x)$ a coefficienti interi. $p(alpha)=beta$ e $p(beta)=alpha$, con $alpha, beta in ZZ$, ovviamente. Come si può scrivere allora $p(x)$?

P.S. Anche qui nulla di straordinario, tutto molto ordinario. Però è una generalizzazione che mi sono ricavato io, dopo aver affrontato molti problemi simili a quelli proposti prima e talvolta può tornare utile.

[salvozungri]

"Paolo90":

Tutta tua .

$p(x)$ a coefficienti interi. $p(alpha)=beta$ e $p(beta)=alpha$, con $alpha, beta in ZZ$, ovviamente. Come si può scrivere allora $p(x)$?

P.S. Anche qui nulla di straordinario, tutto molto ordinario. Però è una generalizzazione che mi sono ricavato io, dopo aver affrontato molti problemi simili a quelli proposti prima e talvolta può tornare utile.

Beh, nonostante sia tutto "ordinario", a me piace . Veniamo a noi:

Sia $p(x)\in ZZ[x]$ tale che $p(\alpha)=\beta$ e $p(\beta)=\alpha$ con $\alpha, \beta \in ZZ$ allora $p(x)= (x-\alpha)(x-\beta)r(x)-x +\alpha +\beta$ ove $r(x)\in ZZ[x]$.

proof: Consideriamo il polinomio $q(x)= p(x)+x-(\alpha +\beta)$, si ha che $q(\alpha)=0$ e $q(\beta)=0$ per cui:
$q(x)= (x-\alpha)(x-\beta)r(x)$ pertanto:
$p(x)+x-(\alpha +\beta)=(x-\alpha)(x-\beta)r(x)=> p(x)=(x-\alpha)(x-\beta)r(x)-x+\alpha +\beta$

Era questo il risultato che volevamo, giusto?

[Paolo902]

Ok, complimenti anche per l'eleganza.

P.S. Ho finito di stressarvi... per un po'!!