Polinomio e valutazioni.
Sia $p(x)$ un polinomio di grado 6 monico di cui conosciamo alcuni valori, in particolare:
$p(n)=n, " per " n\in {0,1,2,3,4,5}$ quanto vale $p(6)$?
E' un esercizio molto simpatico che ho trovato in rete! Beh provateci
$p(n)=n, " per " n\in {0,1,2,3,4,5}$ quanto vale $p(6)$?
E' un esercizio molto simpatico che ho trovato in rete! Beh provateci
Risposte
Così, a occhio, direi $p(6)=726$
Giusto?
Giusto?
Sisì , il risultato è proprio quello!
, il risultato è proprio quello!
Consideriamo il polinomio p2(x) come p(x)-x, questo sarà sempre un polinomio di grado 6 che avrà i valori 0,1,2,3,4,5 come radici.
Quindi fattorizzando ........................
Quindi fattorizzando ........................
"Pietro_Bonf":
Consideriamo il polinomio p2(x) come p(x)-x, questo sarà sempre un polinomio di grado 6 che avrà i valori 0,1,2,3,4,5 come radici.
Quindi fattorizzando ........................
Sì, è questa la soluzione che mi aspettavo... Ottimo! E' un esercizio facile, ma carino. L'ho dato da fare ad un ingegnere e ci stava uscendo pazzo con i conti. Ha considerato il polinomio $p(x)= x^6+a x^5+b x^4+c x^3+d x^2+e x+f$ e con le valutazioni determinava univocamente le varie incognite e infine valutava $p(6)$. Quando gli dissi la soluzione, mi voleva uccidere
. Per la cronaca il polinomio è:$p(x)= x^6-15 x^5+85 x^4-225 x^3+274 x^2-119 x$
"Mathematico":
L'ho dato da fare ad un ingegnere e ci stava uscendo pazzo con i conti. Ha considerato il polinomio $p(x)= x^6+a x^5+b x^4+c x^3+d x^2+e x+f$ e con le valutazioni determinava univocamente le varie incognite e infine valutava $p(6)$. Quando gli dissi la soluzione, mi voleva uccidere
appartiene proprio alla categoria degli ingegneri....
"blackbishop13":
appartiene proprio alla categoria degli ingegneri....
Gli ingegneri sono portati a ragionare in quel modo anche se ne conosco uno (non personalmente) che è un genio della teoria dei numeri, un mostro! E' famoso anche in rete
Ammetto che io, ingegnere, lo volevo risolvere cercando a,b,c,d,e,f. Ma appena visti i conti che dovevo fare (e blackbishop ha detto che l'ha risolto ad occhio), ho capito che c'era di sicuro una soluzione diversa e + semplice. Ammetto anche che non ho nemmeno capito la soluzione di Pietro_Bonf 
:( qualcuno me la spiega in termini comprensibili anche ad un povero ingegnere? Sappiate che però, a nostra discolpa, il 99% degli ingegneri si laurea senza aver mai visto nulla di teoria dei numeri (a meno che non sia uno scimmiato che se la studia da solo). Forse giusto gli ing informatici fanno qualcosa di teo dei numeri.
Cmq sono ansioso di una siegazione così domani vado in classe e faccio il figo coi miei compagni ingegneri:D:D
:( qualcuno me la spiega in termini comprensibili anche ad un povero ingegnere? Sappiate che però, a nostra discolpa, il 99% degli ingegneri si laurea senza aver mai visto nulla di teoria dei numeri (a meno che non sia uno scimmiato che se la studia da solo). Forse giusto gli ing informatici fanno qualcosa di teo dei numeri.Cmq sono ansioso di una siegazione così domani vado in classe e faccio il figo coi miei compagni ingegneri
:D:D
Non c'entra molto con la teoria dei numeri è proprio algebra di seconda liceo (anche prima se hai fatto bene Ruffini).
Se il polinomio è di sesto grado e $p(0)=0$, $p(1)=1$, $p(2)=2$ ecc. fino a 5 significa che un polinomio $p_2(x)=p(x)-x$ è ancora di sesto grado e si annulla in 0, 1, 2, 3, 4, 5, quindi è $p_2(x)=x*(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ inoltre $p(x)=p_2(x)+x$ perciò il nostro polinomio è $p(x)=x*(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+x$
Bellissimo, me lo metto da parte per quando qualche mio studente mi chiede a che cosa serve Ruffini
Se il polinomio è di sesto grado e $p(0)=0$, $p(1)=1$, $p(2)=2$ ecc. fino a 5 significa che un polinomio $p_2(x)=p(x)-x$ è ancora di sesto grado e si annulla in 0, 1, 2, 3, 4, 5, quindi è $p_2(x)=x*(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ inoltre $p(x)=p_2(x)+x$ perciò il nostro polinomio è $p(x)=x*(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+x$
Bellissimo, me lo metto da parte per quando qualche mio studente mi chiede a che cosa serve Ruffini
hahaha wow! grazie Amelia.
Ce ne sono una tonnellata del genere. Rilancio (così @melia è contenta ).
Sia $p(x)$ un polinomio a coefficienti interi tale che $p(1)=3$ e $p(3)=1$. Che cosa si può dire di $p(4)$?
Buon divertimento.
). Sia $p(x)$ un polinomio a coefficienti interi tale che $p(1)=3$ e $p(3)=1$. Che cosa si può dire di $p(4)$?
Buon divertimento.
Sì hai ragione @melia, non è proprio teoria dei numeri, è pura e semplice algebra. Il mio era un modo per dire che non tutti gli ingegneri sono assidui calcolatori xD.
L'ho fatto ad una mia collega di corso, preparatissima e nemmeno lei ha saputo rispondere (non nel modo che volevo io).
@ Paolo90: credo che manchi qualche dato...
L'ho fatto ad una mia collega di corso, preparatissima e nemmeno lei ha saputo rispondere (non nel modo che volevo io
).@ Paolo90: credo che manchi qualche dato...
"Mathematico":
L'ho fatto ad una mia collega di corso, preparatissima e nemmeno lei ha saputo rispondere (non nel modo che volevo io
Diciamo che spesso le cose più semplici sono quelle meno evidenti.
"Mathematico":
@ Paolo90: credo che manchi qualche dato...
Non mi risulta. Dovrebbero esserci tutti.
...Non so che cosa dire, visto che finora ho trovato polinomi a coefficienti interi tali che $p(1)=3$ e $p(3)=1$ ma $p(4)$ è variabile 
"Mathematico":
:? ...Non so che cosa dire, visto che finora ho trovato polinomi a coefficienti interi tali che $p(1)=3$ e $p(3)=1$ ma $p(4)$ è variabile
Certo, ma varia in un determinato modo: in altre parole, può assumere solo "alcuni" valori particolari. Se noti, la domanda, infatti, era "che cosa si può dire di $p(4)$", non "che valore assume $p(4)$".
Scusa per la pignoleria
In una prima analisi quello che posso dire di $p(4)$ è che si tratta di un numero pari, non divisibile per 4.
"Mathematico":
Sì hai ragione @melia, non è proprio teoria dei numeri, è pura e semplice algebra. Il mio era un modo per dire che non tutti gli ingegneri sono assidui calcolatori xD.
Io invece volevo sottolineare il fatto che l'abitudine a lavorare con la teoria dei numeri ci permette di avere una visione dell'algebra classica diversa da quella di coloro che non la conoscono.
Congettura: $p(4)= 0 "mod" 3$
"@melia":
In una prima analisi quello che posso dire di $p(4)$ è che si tratta di un numero pari, non divisibile per 4.
Non mi pare sia proprio così. O meglio, $p(4)$ può essere pari, ma non è detto che lo sia. La condizione è un'altra. E' un esercizio simile a quello precedente...
"Mathematico":
Congettura: $p(4)= 0 "mod" 3$
Eccellente.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo