Polinomio e numeri primi
Sia $P$ un polinomio a coefficienti interi tale che se $P(n)$ è primo allora lo è anche $n$, dimostrare che se $n$ è primo allora lo è anche $P(n)$.
Risposte
"eafkuor":
Sia $P$ un polinomio a coefficienti interi tale che se $P(n)$ è primo allora lo è anche $n$, dimostrare che se $n$ è primo allora lo è anche $P(n)$.
Mi verrebbe spontaneo tentare di dimostrare che $P(x)=x$ è l'unico polinomio che soddisfa la tesi...
Ma non ho ancora ottenuto risultati.
è un teorema dimostrato o una tua congettura?
credo sia una sua congettura...
per quanto ne so, un polinomio simile non si sa nemmeno se esiste!
[ovviamente intendo a parte P(x)=x]
Secondo me hai visto giiusto tu, Carlo
P(x) = x e' l'unico che soddisfa l'ipotesi
ma e' da provare
per quanto ne so, un polinomio simile non si sa nemmeno se esiste!
[ovviamente intendo a parte P(x)=x]
Secondo me hai visto giiusto tu, Carlo
P(x) = x e' l'unico che soddisfa l'ipotesi
ma e' da provare
"Giusepperoma":
credo sia una sua congettura...
per quanto ne so, un polinomio simile non si sa nemmeno se esiste!
[ovviamente intendo a parte P(x)=x]
Secondo me hai visto giiusto tu, Carlo
P(x) = x e' l'unico che soddisfa l'ipotesi
ma e' da provare
In effetti io non conosco nulla di simile nel campo delle funzioni polinomiali, è facile dimostrare che se $2^n-1$ è un numero primo allora $n$ è un numero primo. Ma $2^n-1$ inutile dire non è un polinomio....
Poi bisogna dire che sulla primalità dei polinomi di grado $>1$ si sa molto poco, in particolare si sa che l'insieme dei numeri primi $p$ tali che dividono $P(n)$ per qualche $n$ è infinito per qualsiasi polinomio a coefficienti interi $P(x)$, ma non si sà ancora se un polinomio irriducibile su $Z$ può assumere valori primi per infiniti $n$.
Ciao!
Allora forse ho tradotto male io, nel qual caso mi scuso, il problema lo ho preso da qui:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... hp?t=70300
Anche io avevo lo stesso dubbio vostro, ma mi chiedevo se accettando l' ipotesi senza preoccuparsi della sua veridicità fosse possibile dimostrare il teorema.
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... hp?t=70300
Anche io avevo lo stesso dubbio vostro, ma mi chiedevo se accettando l' ipotesi senza preoccuparsi della sua veridicità fosse possibile dimostrare il teorema.
questo e' quello che mi chiedo anch'io...
PS
la tua traduzione e' corretta!
PS
la tua traduzione e' corretta!
"Giusepperoma":
questo e' quello che mi chiedo anch'io...
PS
la tua traduzione e' corretta!
Non capisco tanto l'inglese, nel seguito tentano di dimostrarlo? Come fa a saltare fuori quel $4Q(x)$?
Io non mi fiderei molto...
Ciao!
mha quello non lo so, sembra una divagazione per motivi ignoti...
Bho vabbè, io l' ho postato perché mi sembrava interessante
"eafkuor":
Sia $P$ un polinomio a coefficienti interi tale che se $P(n)$ è primo allora lo è anche $n$, dimostrare che se $n$ è primo allora lo è anche $P(n)$.
E' FALSO! Sia infatti $P(x) = 1$. Allora la proposizione "$\exists n \in \mathbb{Z}$: P(n) è primo $\Longrightarrow$ n è primo" è banalmente vera, ché $P(n)$ non è né primo né composto, qualunque sia $n \in \mathbb{Z}$. Nondimeno è falso affermare che "se n è primo, allora l'è pure P(n)." Mi chiedo a questo punto cosa si può dire del caso in cui P si ammetta non costante...
"HiTLeuLeR":
Mi chiedo a questo punto cosa si può dire del caso in cui P si ammetta non costante...
Mi rispondo da solo: è FALSO pure questo! Per ogni $m \in \mathbb{Z}^+$, sia infatti $P_m(x) := 4x^m + 4$. Allora l'insieme $\{x \in \mathbb{Z}: P_m(x) è primo\}$ è vuoto, e perciò la proposizione "esiste n \in \mathbb{Z} t.c. P_m(n) è primo $\Longrightarrow$ n è primo" è VERA, ché non esiste alcun non primo $n \in \mathbb{Z}$ per cui $P_m(n)$ sia primo. Ciò nondimeno, quand'anche $n \in \mathbb{Z}$ è primo, $P_m(n)$ non è comunque tale. Da qui la conclusione voluta!
A questo punto ci si potrebbe domandare cosa accade, in generale, se $P(x) := a_0 + a_1 x + ... + a_m x^m$, con $m \in \mathbb{Z}^+$ e $a_m \neq 0$, è un polinomio non costante a coefficienti interi nella variabile $x$ tale che $\gcd(a_0, a_1, ..., a_m) = 1$. Ma forse the question comes to be quite ambitious...
hahahah ma come carlo??? non capisci tanto l'inglese? ma tu non eri quello che voleva tradurre l'UTF?
"giacor86":
hahahah ma come carlo??? non capisci tanto l'inglese? ma tu non eri quello che voleva tradurre l'UTF?
è? Guarda che mi sembra fosse keji, io mi rendevo comunque disponibile, tradurre un documento da Acrobat richiede anche una certa conoscenza di come si usano i file di testo.
ah
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