Polinomio di terzo grado
Il polinomio $x^3+px+q$ ha tre radici reali distinte. Provare che $p <0$.
Ciao!
Ciao!
Risposte
Il risultato si consegue facilmente tramite la formula di Cardano ma si puo'
ottenere anche direttamente.
Poiche' la somma delle radici e' zero ( in quanto il coefficiente di x^2 e' nullo),
le 3 radici non possono essere tutte dello stesso segno con due possibili casi.
A) due radici positive ed una negativa.
In questo caso il prodotto delle radici,dato da -q, e' negativo :-q<0-->q>0.
Pertanto deve essere necessariamente p<0 altrimenti l'equazione non
potrebbe avere radici positive.
B)due radici negative ed una positiva.
In questo caso risulta -q>0-->q<0.Pertanto anche quì deve aversi p<0
altrimenti l'equazione non potrebbe avere radici negative.
Archie.
ottenere anche direttamente.
Poiche' la somma delle radici e' zero ( in quanto il coefficiente di x^2 e' nullo),
le 3 radici non possono essere tutte dello stesso segno con due possibili casi.
A) due radici positive ed una negativa.
In questo caso il prodotto delle radici,dato da -q, e' negativo :-q<0-->q>0.
Pertanto deve essere necessariamente p<0 altrimenti l'equazione non
potrebbe avere radici positive.
B)due radici negative ed una positiva.
In questo caso risulta -q>0-->q<0.Pertanto anche quì deve aversi p<0
altrimenti l'equazione non potrebbe avere radici negative.
Archie.
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