Polinomio dal 2007
Diciamo che due polinomi a coefficienti interi $p$ e $q$ sono simili se hanno lo stesso grado e gli stessi coefficienti a meno dell'ordine
(a) dimostrare che ,se $p$ e $q$ sono simili allora $p(2007)-q(2007)$ è multiplo di 2
(b)esistono degli interi k>2 tali che,comunque siano dati due polinomi simili $p$ e $q$, $p(2007)-q(2007)$ è multiplo di k?
(a) dimostrare che ,se $p$ e $q$ sono simili allora $p(2007)-q(2007)$ è multiplo di 2
(b)esistono degli interi k>2 tali che,comunque siano dati due polinomi simili $p$ e $q$, $p(2007)-q(2007)$ è multiplo di k?
Risposte
Per la prima ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
ok mi sembra che va tutto bene per il primo punto,anche io l'ho fatto allo stesso modo, ora usando lo stessa idea si può arrivare alla soluzione del 2°punto, la mia è leggermente differente da quella ufficiale e vorrei sapere dove ho sbagliato 
Per il secondo a occhio direi tutti i divisori di 2006
Per il secondo a me viene solo $k=2006$.
Basta notare che $2007^x= 1 mod 2006$, per ogni intero positivo $x$. Quindi la differenza $p(2007)-q(2007)$ sarà congrua a $ 0 mod 2006$, essendo $p$ e $q$ polinomi simili.
Basta notare che $2007^x= 1 mod 2006$, per ogni intero positivo $x$. Quindi la differenza $p(2007)-q(2007)$ sarà congrua a $ 0 mod 2006$, essendo $p$ e $q$ polinomi simili.
ok il risultato di pachisi è quello giusto, ma io in realtà avevo ragionato come dan95, se $p(2007) - q(2007)$ è divisibile per 2006,perchè non dovrebbe esserlo anche per 1003?
La differenza dei polinomi è congrua a $0 mod 2006$, quindi è multipla di $2006$. Ciò non significa che è anche multipla di $1003$. Infatti, se un numero è multiplo di $2006$, lo è anche di $1003$, ma non vale il viceversa.
Scusate tanto, sarà una mia svista ma se $a|b$ e $b|c$ allora $a|c$
Ok, però tu stai dicendo che $p(2007)-q(2007)$ è multiplo di ogni divisore di $2006$. Nel mio post precedente ho mostrato che $p(2007)-q(2007)= 0 mod 2006$, dunque la differenza dei polinomi è un multiplo di $2006$. Però non è un multiplo di ogni divisore di $2006$. Per esempio, metti che è un multiplo di ogni divisore di $2006$, allora è un multiplo di $1003$. Allora per alcuni polinomi $p$ e $q$ simili, abbiamo $p(2007)-q(2007)=1003 \cdot 3$, però $p(2007)-q(2007) = 0 mod 2006$ e $1003 \ cdot 3 \ne 0 mod 2006$. Quindi la differenza dei polinomi è un multiplo di $2006$ e basta.
Se un numero $k$ è multiplo di $n$ allora necessariamente lo sarà di ogni divisore di $n$, basta che sia un multiplo di 1003 non un suo qualsiasi multiplo per lo meno così fa capire il testo...
Non ci stiamo capendo. Concordo sulla prima parte, ma se un numero $a$ è multiplo di un divisore di $n$, ciò non significa che $a$ sia anche multiplo di $n$. Quindi non sarà necessariamente $p(2007)-q(2007)= 0 mod 2006$ se consideriamo tutti i divisori di $2006$.
Hai ragione...non ci stiamo capendo
Fa niente. Speriamo che arrivi qualcuno che capisca entrambi.
Pachisi, riesci a trovare due polinomi simili tali che $p(2007)-q(2007)$ non sia multiplo di $1003$?
Scusa pachisi ma mi sembra che tu stia prendendo un granchio,se un numero è multiplo di 2006 allora è della forma $2006\cdot x$,quindi della forma $1003\cdot 2\cdot x$,quindi è ovviamente anche multiplo di 1003...
In effetti, ora mi rendo conto di esser stato un cretino...
Quindi mi sembra che siamo tutti d'accordo sul fatto che i numeri che stiamo cercando sono 2006 e 1003,cosa che avevo trovato anche io all'inizio.... 
Ebbene la soluzione uffuciale dice SOLO k=2006
Dove stiamo sbagliando
Ebbene la soluzione uffuciale dice SOLO k=2006
Dove stiamo sbagliando
È attendibile la fonte?
questo esercizio non è altro che il n° 2 di cese 2007, e la fonte è proprio la soluzione ufficiale, io sinceramente non capisco dove sia l'intoppo, la soluzione dimostra come sia divisibile per 2006 senza mai parlare del 1003 :/
Non c'è nessun intoppo; il testo chiede solo di determinare se esistono altri valori con quella proprietà, e siccome $2006$ va bene la risposta è sì.
Comunque ci sono altri valori validi oltre a $2006$ e $1003$...
Comunque ci sono altri valori validi oltre a $2006$ e $1003$...
Molto ambigua questa cosa, nella soluzione sarebbe stato più sensato scriverli tutti 
.
Comunque i valori complessivi sono tutti quelli che dividono 2006, quindi 2006,1003, 59, 17
.Comunque i valori complessivi sono tutti quelli che dividono 2006, quindi 2006,1003, 59, 17
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo