Polinomio...

[Mistral2]

Sia P(x) un polinomio di grado n che soddisfa P(k)=2^k per k=0,1,2,...,n. Trovare P(n+1).

Posto la soluzione su richiesta.

Saluti

Mistral

[JvloIvk]

Il polinomio P(x) per gli sviluppi in serie di Taylor è:
P(x)=1 + x + x(x-1)/2! +...+ x!/n!
ovvero:
P(x)= [n! + n!x + (n-1)!x(x-1) +...+ x!]/n!
Se x=n+1 allora:
P(n+1)=[n! + (n+1)n! +(n+1)n(n-1)! +...+ (n+1)!]/n!=
=1 + n+1 +n+1 +...+ n+1 = 1+n(n+1)=n²+n+1
Spero di non aver commesso errori di calcolo...

[Mistral2]

quote:

---

Originally posted by JvloIvk

Il polinomio P(x) per gli sviluppi in serie di Taylor è:
P(x)=1 + x + x(x-1)/2! +...+ x!/n!
ovvero:
P(x)= [n! + n!x + (n-1)!x(x-1) +...+ x!]/n!
Se x=n+1 allora:
P(n+1)=[n! + (n+1)n! +(n+1)n(n-1)! +...+ (n+1)!]/n!=
=1 + n+1 +n+1 +...+ n+1 = 1+n(n+1)=n²+n+1
Spero di non aver commesso errori di calcolo...

---

Il polinomio non va bene più che altro perchè non è polinomio. Ma ci sei vicino, il coefficiente binomiale è la chiave. Un suggerimento e che 1+1=2.
Saluti

Mistral

[Thomas16]

Mistral, perchè nn dai un'occhiata alla mia serie binomiale che ho postato sul forum universitario? ...

ps: nn credo che la mia risposta sia OffTopic, anzi

[Thomas16]

ops...nn avevo visto che avevi scritto esplicitamente che il coefficiente binomiale è la chiave [avevo letto solo 1+1=2 ]...sorry ..

edit: avevo postato un suggerimento ma poi ho deciso che è meglio evitare per ora...

[JvloIvk]

Azzardo di nuovo,anche se ci sono alcuni
punti me non mi convincono...
Bisogna sviluppare attraverso il binomio di
Newton 2^(n+1) e levare l'ultimo addendo
(n+1 n+1)=1.Quindi P(n+1)=2^(n+1)-1
Ho azzeccato?

[Thomas16]

Centro...

[Mistral2]

quote:

---

Originally posted by Thomas

Centro...

---

Per chiarezza ecco la soluzione in un unico post.

Il polinomio di grado n cercato è:
P(x)=binom(x,0)+binom (x,1)+....+binom(x,n)
dove per intenderci:
binom(x,k)=x(x-1)...(x-k+1)/k!
si noti che in generale x non è un intero.

Si ha che per k=1,2,...,n:
P(k)=binom(k,0)+binom (k,1)+....+binom(k,k)=(1+1)^k=2^k
P(n+1)=binom(n+1,0)+binom (n+1,1)+....+binom(n+1,n)=2^(n+1)-1

Saluti

Mistral