Polinomi e funzioni

[Sk_Anonymous]

0)
H(x) e' un polinomio a coefficienti interi tale che sia:
H(0)=0,H(m)=31,H(n)=36
dove m ed n sono due interi positivi.
Sapendo che e' $1051<=H(1)<=3151$ calcolare i possibili valori di H(1)

1)
La funzione G(x) soddisfa la relazione:
$G(x+1)=1/2+sqrt(G(x)-G^2(x))$
Dimostrare che G(x) e' periodica.

karl

[Aethelmyth]

Per la 0) secondo me $H(x)$ è della forma $(zx)/(x^q+p)$ dove $1051(p+1) .
X ora nn ho tempo, la riprenderò in un altro momento. Correggetemi se sbaglio ovviamente

[Sk_Anonymous]

Ma ti pare che un polinomio possa essere del tipo $(zx)/(x^q+p)$ ?
C'e' sempre troppa avventura nelle tue risposte !
A volte ho come l'impressione che lo fai apposta...
karl

[Aethelmyth]

lol hai ragione xD ... è che pensavo alle funzioni mentre lo facevo

Allora $H(x)= zx-x^p$ con $1052

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[fields1]

"karl":0)
H(x) e' un polinomio a coefficienti interi tale che sia:
H(0)=0,H(m)=31,H(n)=36
dove m ed n sono due interi positivi.
Sapendo che e' $1051<=H(1)<=3151$ calcolare i possibili valori di H(1)

0) Osserviamo che, poiché $h(0)=0$, $h(x)=a_1x+...+a_nx^n$. Dunque $h(x)=x(a_1+a_2x+...+a_nx^(n-1))$. Ma allora $h(x)=31$ implica che $x=31$, poiché 31 è primo (ma va?) e inoltre non può essere $x=1$ ($h(1)>31$ per ipotesi). Dunque $h(31)=31$. Inoltre, $h(x)=36$ implica che $x$ divide 36 e $x\ne 1$. Se consideriamo ora il polinomio $h(x)-31$, esso ha per costruzione una radice in $x=31$, dunque si deve scrivere $h(x)-31=(x-31)q(x)$, con $q(x)$ polinomio a coefficienti interi. Dunque $h(x)=36$ implica che $5=(x-31)q(x)$. L'unico valore allora possibile per $x$ è $x=36$. Dunque $h(36)=36$ e $q(36)=1$.

Osserviamo dunque che $h(1)=-30q(1)+31$. Dunque abbiamo che $h(1)-=31 (mod 30)$. Poiché inoltre $1051<=h(1)<=3151$, e $1051=30*34+31$ e $3151=30*104+31$, abbiamo che $-104<=q(1)<=-34$.

Dobbiamo dunque trovare una famiglia di polinomi a coefficienti interi $q(x)$ tale che $q(36)=1$ e $-104<=q(1)<=-34$. Ancora una volta abbiamo che $q(x)-1$ ha una radice in $x=36$, dunque $q(x)=(x-36)s(x)+1$, e dunque $q(1)=-35*s(1)+1$. Segue che ci sono 3 valori che $s(1)$ può assumere: 1, 2, 3. Otteniamo dunque i polinomi $(x-36)+1$, $(x-36)*2+1$, $(x-36)*3+1$. I loro valori $q(1)$ sono rispettivamente -34, -69, -104.

Concludiamo dunque che i valori possibili di $h(1)$ sono: 1051, 2101, 3151.

[Sk_Anonymous]

Veramente una bella analisi.
Mi permetto solo di suggerire una semplificazione.
Avendo stabilito che H(31)=31 e H(36)=36 si puo' anche scrivere direttamente:
$H(x)=x+(x-31)(x-36)q(x)$ e ponendo x=1:
$H(1)=1+1050q(1)$
Imponendo poi la limitazione ,risulta:
$1051<=1+1050q(1)<=3051$ da cui si ricavano i soli valori possibili
q(1)=1,2,3 e a cui corrispondono i valori di H(1) da te gia' indicati.
E' rimasto orfano il quesito sulla funz. periodica...
karl

[fields1]

Mi permetto solo di suggerire una semplificazione.
Avendo stabilito che H(31)=31 e H(36)=36 si puo' anche scrivere direttamente:
$H(x)=x+(x-31)(x-36)q(x)$ e ponendo x=1:
$H(1)=1+1050q(1)$
Imponendo poi la limitazione ,risulta:
$1051<=1+1050q(1)<=3051$ da cui si ricavano i soli valori possibili
q(1)=1,2,3 e a cui corrispondono i valori di H(1) da te gia' indicati.

Vero, buona osservazione.

[_luca.barletta]

"karl":
E' rimasto orfano il quesito sulla funz. periodica...

E allora lo adotto io: a me risulta $G(x+4)=G(x)$
Se è giusto posto lo sproloquio, altrimenti ve lo evito.

[Sk_Anonymous]

@luca.barletta
Ci sei vicino ,anche se non e' detto che quello sia il periodo
minimo....
karl

[_luca.barletta]

vuoi dire periodo 2? se così fosse non mi torna

[Sk_Anonymous]

Sembra invece che il periodo sia proprio 2.Forse c'e'
qualche divergenza sui calcoli.
karl

[Piera4]

Secondo me la difficoltà dell'esercizio sta proprio nel trovare il "periodo minimo".
Che 2 è un periodo è facile da verificare:
$G(x+2)=1/2+sqrt(G(x+1)-G^2(x+1))=$
$1/2+sqrt(1/2+sqrt(G(x)-G^2(x))-1/4-G(x)+G^2(x)-sqrt(G(x)-G^2(x)))=1/2+sqrt((G(x)-1/2)^2)=G(x)$ (tenendo conto del fatto che $G(x)>1/2$).
Ma come dimostrare che è il "periodo minimo"?


Forse ho capito...
Ragionando come sopra si verifica che
$G(x+T)=G(x+T-2)=> T=2$.

[_luca.barletta]

Ok, ho messo a posto un segno, torna anche a me.