Polinomi e divisibilità
Siano [tex]p(x), q(x), r(x)[/tex] polinomi tali che [tex]x^3+x^2+x+1\mid p(x^4)+xq(x^4)+x^2r(x^4)[/tex] (cioè [tex]x^3+x^2+x+1[/tex] divide [tex]p(x^4)+xq(x^4)+x^2r(x^4)[/tex]) allora [tex]x-1\mid p(x)[/tex].
Buon divertimento.
Buon divertimento.
Risposte
Visto che l'algebra non è il mio mestiere, ci provo con metodi elementari.
Edit: corretto un errore segnalato da Mathematico.
Edit: corretto un errore segnalato da Mathematico.
Ciao Rigel, grazie per la risposta. Credo di aver capito il tuo ragionamento, mi mancano i conti che farò dopo pranzo. Tendo però a fidarmi delle tue risposte (sempre brillanti
). Adesso mi tocca cucinare
PS: Io non ho una risposta prettamente algebrica, l'algebra non ricambia il mio affetto


PS: Io non ho una risposta prettamente algebrica, l'algebra non ricambia il mio affetto

provo a rispondere:
$x^3+x^2+x+1$ ha come radici $-1,i,-i$ e poichè divide quella somma di polinomi allora la somma di polinomi calcolata sulle radici deve valere 0. Usando questo fatto abbiamo che:
$p(1)-q(1)+r(1)=0$
$p(1)+iq(1)-r(1)=0$
$p(1)-iq(1)-r(1)=0$
Risolvendo il facile sistema otteniamo $p(1)=q(1)=r(1)=0$ e quindi $x-1|p(x)$ (e anche $q(x),r(x)$)
$x^3+x^2+x+1$ ha come radici $-1,i,-i$ e poichè divide quella somma di polinomi allora la somma di polinomi calcolata sulle radici deve valere 0. Usando questo fatto abbiamo che:
$p(1)-q(1)+r(1)=0$
$p(1)+iq(1)-r(1)=0$
$p(1)-iq(1)-r(1)=0$
Risolvendo il facile sistema otteniamo $p(1)=q(1)=r(1)=0$ e quindi $x-1|p(x)$ (e anche $q(x),r(x)$)
@Gaussman: Sono d'accordo con te, volevo solo segnalarti queto:
La prima equazione non dovrebbe essere $p(1)-q(1)+r(1)=0$? Ai fini del risultato non cambia nulla, è solo per puntualizzare
"Gaussman":
$p(1)+q(1)+r(1)=0$
$p(1)+iq(1)-r(1)=0$
$p(1)-iq(1)-r(1)=0$
La prima equazione non dovrebbe essere $p(1)-q(1)+r(1)=0$? Ai fini del risultato non cambia nulla, è solo per puntualizzare

giusto, ora ho corretto. Grazie per avermelo fatto notare

@Gaussman: il tuo è decisamente un metodo troppo complesso per me

Ottimo Gaussman, è la soluzione che mi aspettavo 
@ Rigel, la tua soluzione è davvero molto bella e originale
Intanto segnalo agli appassionati delle IMO questo libro, una raccolta di esercizi, alcuni molto complicati, delle competizioni matematiche del passato.
Grazie per esservi interessati al problema.
Se avete altre soluzioni, come al solito, non fatevi problemi

@ Rigel, la tua soluzione è davvero molto bella e originale

Intanto segnalo agli appassionati delle IMO questo libro, una raccolta di esercizi, alcuni molto complicati, delle competizioni matematiche del passato.
Grazie per esservi interessati al problema.
Se avete altre soluzioni, come al solito, non fatevi problemi
