Plutone

[axpgn]

Quale pianeta, usualmente, è il più vicino a Plutone?



Cordialmente, Alex

[gabriella127]

Be', Plutone, a essere rigorosi . Distanza Plutone-Plutone $=0$.

[axpgn]

... mmm .. non ne sono convinto, quale sarebbe il significato di "vicino" in tale situazione?


Comunque no, chiaramente intendevo "quale pianeta diverso da Plutone" ...

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

Dicevo, 'a essere rigorosi', perché mi riferivo alla definizione di distanza in matematica: $d(x, y)=0$ se $x=y$.
Pensavo fosse una domanda trabocchetto, tipo 'di che colore è il cavallo bianco di Napoleone'

[axpgn]

In effetti, mi ero dimenticato di essere in un Forum di Matematica

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

I matematici so' pesanti.

[Bokonon]

@gabriella

Plutone non è più un pianeta!
Io dico Nibiru

[gabriella127]

@Bokonon

Ho visto che la definizione di pianeta è variabile, boh? Plutone sembra essere un pianeta, o anche pianeta nano, in base alle mie conoscenze di astronomia che risalgono a un quarto d'ora fa.
A quel punto non pianeta per non pianeta, Plutone ha cinque satelliti dai nomi di oltretomba, il più interno è Caronte.
Ma però, che c'entra con i giochi matematici? perciò ipotizzavo qualche trappola da parte di axpgn.

Oppure bisogna calcolare tutte le orbite dei vari pianeti, ma quello lo lascio a Gauss.

[axpgn]

Miii, ma come siete pignoli

Riformulo:

Quale fra questi pianeti cioè fra Mercurio, Venere, Terra, Marte, Giove, Saturno, Urano e Nettuno è, usualmente, il più vicino a Plutone?

Cordialmente, Alex

@Gabriella
La Matematica centra, fidati

[gabriella127]

Certo potrebbbe anche essere il pianeta più vicino al Sole, cioè Mercurio. Allineato sta più lontano dagli altri,ma quando girano intorno al sole, gli altri si allontanano di più da Plutone, mentre Mercurio, facendo un'orbita più piccola, in media è meno lontano. Epperò senza sapere di preciso come girano i pianeti l'uno rispetto all'altro e le orbite come si fa?
Però non capisco che vuol dire 'usualmente'? In media? Per la maggior parte del tempo?

[axpgn]

Si fa, si fa ... Matematicamente

[gabriella127]

Ma che vuol dire 'usualmente'? per la maggior parte del tempo?

Ma comunque mi sembra che dipenda dalle orbtie e dalla velocità reciproca con cui ruotano, così senza nessuna informazione come si può dire non lo capisco

[axpgn]

Usualmente = di solito, solitamente, per la maggior parte del tempo.

La soluzione "semplice" proposta dall'autore presuppone che le orbite siano circolari concentriche e le velocità angolari dei pianeti siano tutte diverse ma funziona anche per la situazione reale.
E non è necessario conoscere né raggi né velocità .. è questo il bello

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

A questo punto penso che sia il pianeta più interno, quello cioè più vicino al sole.

[gabriella127]

Ho in mente il disegnino per dimostrarlo, ma ce l'ho solo in mente, non l'ho fatto. Domani lo faccio, e vedo se è giusto o e una boiata

[gabriella127]

Illustrerò la mia tesi, cioè che il pianeta usualmente più vicino a Plutone è il pianeta più vicino al sole, con un mirabile disegnino:






Ipotizziamo solo due pianeti oltre Plutone, Pianeta 1 e Pianeta 2. Si muovono su orbite date da cerchi concentrici al cui centro è il sole (punto M centro delle circonferenze).
Plutone lo ipotizziamo fisso, tanto quello che conta sono i moti relativi. Pianeta1 e Pianeta2 si muovono a velocità angolari arbitrarie costanti, diverse dalla velocità di Plutone.
Il segmento JM rappresenta la distanza media del Pianeta2 da Plutone durante la sua orbita $(1)$.
I segmenti JA e JB sono uguali a JM e indicano i due punti, A e B, in cui la distanza del Pianeta1 da Plutone è pari alla distanza media del Pianeta 2 sempre da Plutone.
Un segmento come JC rappresenta un punto C in cui la distanza del Pianeta1 da Plutone è superiore alla distanza media del Pianeta2 da Plutone.

L'arco di circonferenza AB in senso antiorario (parte di sotto della circonferenza) rappresenta quindi le posizioni in cui il Pianeta2 è più lontano da Plutone della distanza media del Pianeta2, e viceversa, l'arco AB sopra le posizioni in cui è più vicino.

Come si vede, l'arco AB sotto è più lungo dell'arco AB sopra, quindi il Pianeta2 sta nella maggior parte del tempo a distanza superiore a quella media di Pianeta2 da Plutone.

Ovviamente. se ci fossero altri pianeti esterni al Pianeta2 il discorso si ripeterebbe per questi.



$(1)$ Infatti la distanza massima è JH , mentre la distanza minima è JH', la distanza media sarà indicata quindi dal centro M del segmento HH' (le distanze le misuriamo dal centro dei pianeti, li considero puntiformi).

[Bokonon]

@Alex
...e vabbè allora il problemino è antiscientifico. Nella mia testa, ricordo che l'orbita di Plutone non solo è particolarmente eccentrica ma anche fuori l'asse medio. Magari ricordo male e la semplificazione dell'autore ha qualche senso...ma temo di no.

[axpgn]

@Gabriella
Secondo me la tua dimostrazione è un pochino incasinata e in alcuni punti non proprio precisa ma ... la sostanza c'è tutta !!!

Brava, molto brava

Ecco la mia ...

Nell'immagine ci sono le orbite di Mercurio e della Terra.
Plutone lo consideriamo stazionario, in questo modo la sua velocità angolare viene sottratta da quella degli altri pianeti, lasciando sostanzialmente inalterata la situazione.
Tracciamo la linea $PS$ tra Plutone e il Sole e la perpendicolare $TS$ a questa.
Consideriamo due punti ($x_1$ e $x_2$) dell'orbita di Mercurio, simmetrici rispetto a $TS$.
L'arco $B (b_1b b_2)$ è più lungo dell'arco $A (a_1aa_2)$.
Sia $E$ la circonferenza dell'orbita terrestre; quando Mercurio è in $x_1$, la Terra è più lontana da Plutone quando si trova in $B$ e più vicina quando è in $E-B$.
Dunque una probabilità $B/E$ che sia più lontana e $(E-B)/E$ che sia più vicina.
Similmente, quando Mercurio è in $x_2$, la probabilità che sia più lontana è $(E-A)/E$ mentre che sia più vicina è $A/E$.
Ne consegue che quando Mercurio si trova in $x_1$ o in $x_2$ la probabilità che sia più lontana è $(B+E-A)/(2E)$ mentre che sia più vicina è $(E-B+A)/(2E)$ e dato che $B>A$ c'è una maggior probabilità che la Terra sia più lontana di Mercurio da Plutone in quei due casi e dato che i punti sono generici questo si estende a tutta l'orbita (ed anche agli altri pianeti).

@Bokonon

Non è antiscientifico, è ciò che accade realmente.
È vero che Plutone ha un'orbita abbastanza eccentrica e un po' più inclinata sull'eclittica rispetto agli altri pianeti ma ciò non inficia il ragionamento alla base della dimostrazione, anche perché si considera Plutone stazionario e le orbite circolari e concentriche sono solo quelle degli altri pianeti

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

Grazie!
Leggerò con calma la tua dimostrazione, a me la mia sembra semplicissima, e chiara, ma poi quando si espone caso mai è meno chiaro.
Ci aggiorniamo a quando ho letto la tua!

[gabriella127]

Volevo dire, inoltre, che secondo me nella formulazione del problema è essenziale dire che i pianeti ruotano a velocità angolare diversa da Plutone. Altrimenti si potrebbe avere il caso, in cui il ragionamento che abbiamo fatto salta, di pianeti che ruotano tutti allineati con Plutone. Metto altro disegnino, che in effetti non serve a niente , ma mi piace fare disegnini :




Qui il pianeta più vicino è sempre quello verde.
Perciò avevo dubbi, se non si conoscevano le velocità, mi veniva questo esempio in mente
.
Inoltre mi sembra essenziale dire anche che le velocità dei pianeti sono costanti, ma questo può essere sottinteso.

Devo rileggere meglio la tua dimostrazione, c'è una cosa che non mi è chiara, ma l'ho letta velocemente.

Il problema comunque è molto carino.