Plinomio irriducibile

[FreddyKruger]

Siano $a_1,a_2,a_3,...,a_n$degli interi distinti.Dimostrare che il polinomio
$P(x)=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)....(x-a_n)-1$ è irriducibile in $\mathbb Z$.

[PZf]

Supponiamo per assurdo che esistano due polinomi a coefficienti interi $p(x)$ e $q(x)$, di grado non nullo, tali che $P(x)=p(x)q(x)$.

$P(x)$ è un polinomio di grado $n$ quindi fra $p(x)$ e $q(x)$ quello che ha il grado minore è al più di grado \(n/2\) se $n$ è pari, \((n-1)/2\) se $n$ è dispari. Possiamo supporre, senza perdere di generalità, che questo polinomio sia $p(x)$.

Ora $P(a_k)=-1$ per ogni $k\in{1,2,...,n}$ quindi $p(a_k)=\pm 1\ \forall k$ (questo perché $p(x),q(x)\in\ZZ\ \forall x\in\ZZ$).
A questo punto è chiaro che se $n$ è pari il polinomio $p(x)$ deve assumere lo stesso valore in almeno \(n/2\) punti distinti, e se $n$ è dispari allora $p(x)$ deve assumere lo stesso valore in almeno \((n-1)/2\) punti distinti.
Ne segue che $p(x)$ è costante su tutto $\ZZ$ quindi l'ipotesi di partenza era assurda e il polinomio $P(x)$ deve essere irriducibile.

[FreddyKruger]

E' tutto chiaro,ma mi è rimasto solo questo dubbio...
$n$ non deve essere un numero finito?
Perchè se così fosse l'assurdo non ci sarebbe più

[PZf]

In realtà l'errore c'è, ma non risiede nel fatto che $n$ sia finito.
L'ho commesso quando ho detto che un polinomio di grado al più $n$, che assume lo stesso valore in $n$ punti distinti, deve essere costante su tutto $\ZZ$... Dovevo essere proprio stanco per dirlo.
In realtà è vero che un polinomio di grado al più $n$, che assume lo stesso valore in $n+1$ punti distinti, deve essere costante su tutto $\ZZ$.

Proverò a correggere...

[PZf]

Ci riprovo mantenendo la stessa idea di prima, spero non ci siano altri errori.

Supponiamo per assurdo che il polinomio $P(x)$ sia riducibile.
Potremmo allora trovare due polinomi monici a coefficienti interi $p(x)$ e $q(x)$ tali che $P(x)=p(x)q(x)$.
Ora $P(a_k)=-1$ per ogni $k\in{1,2,...,n}$ quindi $p(a_k)=\pm 1,\ q(a_k)=-p(a_k)\ \forall k\in{1,2,...,n}$.
Distinguiamo due casi:

[*:3afkxcbv] Se $n=2m+1$ è dispari allora uno fra $p(x)$ e $q(x)$ dovrebbe essere un polinomio di grado al più $m$. Possiamo supporre che sia $p(x)$. Siccome esistono $2m+1$ punti distinti in cui $p(x)$ vale $\pm 1$ devono esistere, fra questi, $m+1$ punti distinti in cui il polinomio $p(x)$ assume lo stesso valore. Quindi $p(x)$ è un polinomio di grado minore o uguale a $m$, che assume lo stesso valore in $m+1$ punti distinti. Ne segue che $p(x)$ è costante e uguale a $1$ oppure $-1$ quindi $P(x)$ non può essere riducibile.[/*:m:3afkxcbv]
[*:3afkxcbv] Se $n=2m$ è pari allora $p(x)$ e $q(x)$ devono necessariamente essere entrambi di grado $m$. Infatti se così non fosse allora uno dei due, diciamo $p(x)$, dovrebbe avere grado strettamente minore di $m$ e, con lo stesso ragionamento del punto precedente, potremmo dire che $p(x)$ deve assumere lo stesso valore in almeno $m$ punti distinti, quindi $p(x)$ risulterebbe ancora costante e uguale a $1$ oppure $-1$.
Sappiamo dunque che $p(x)$ e $q(x)$ devono necessariamente essere polinomi monici di grado esattamente $m$.
Resta vero che $p(a_k)=\pm 1,\ q(a_k)=-p(a_k)\ \forall k\in{1,2,...,n}$, quindi devono esistere almeno $m$ punti distinti in cui $p(x)$ assume lo stesso valore. Possiamo supporre, senza perdere di generalità, che $p(a_1)=p(a_2)=...=p(a_m)=+1$ e $q(a_1)=q(a_2)=...=q(a_m)=-1$. Allora i polinomi $p(x)-1$ e $q(x)+1$ sarebbero due polinomi monici di grado $m$ con radici nei punti $a_1,a_2,...,a_m$. Ne segue che $p(x)-1=q(x)+1=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_m)$. Per compattare le scritture introduciamo il polinomio $t(x)=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_m)$ e scriviamo $p(x)=t(x)+1$ e $q(x)=t(x)-1$.
A questo punto possiamo scrivere $P(x)=p(x)q(x)=t^2(x) -1$.
Finalmente possiamo concludere osservando che $P(x)+1$ è un polinomio con $2m$ radici distinte nei punti $a_1,...,a_n$, ma $t^2(x)$ può avere al più $m$ radici distinte (di molteplicità $2$).[/*:m:3afkxcbv][/list:u:3afkxcbv]

[FreddyKruger]

Non ho ancora letto tutta la soluzione ,però stavo pensando che se $p(x)$ deve valere 1 o -1 $\forall k \in {1,2,...,n}$,allora non dovrebbe avere grado $n$? e lo stesso vale per $q(x)$, quindi ci ritroveremmo con $P(x)$ di grado 2n invece che n.

[PZf]

"FreddyKruger":se $p(a_k)$ deve valere 1 o -1 $\forall k \in {1,2,...,n}$,allora non dovrebbe avere grado $n$?

Perché lo dici? A me non risulta.
Dicendo che $p(a_k)$ deve valere $1$ o $-1$ in quei punti non intendo che in quei punti o vale sempre $1$ oppure sempre $-1$. Potrebbe valere $1$ sulla metà di essi e $-1$ sull'altra metà.

Esempio: supponiamo $a_1=-1$ e $a_2=1$, allora se $p(a_k)=\pm 1\ \forall k\in{1,2}$ non è detto che $p(x)$ sia di grado $2$, potrebbe essere $p(x)=x$.

[FreddyKruger]

Hai perfettamente ragione devo rifletterci un po' di più.