Piove sul bagnato...
Questo è un problema simpatico, forse altri selo saranno posti guardando la pioggia cadere.
Abbiamo una superfice piana di area $A$, incomincia a piovere, le goccie cadono sulla superficie in punti completamente casuali, si sa solo che cadono $n$ goccie ogni secondo, ogni goccia bagna un unità di superficie, la bagna con una forma circolare.
Ora il problema è il seguente determinare la funzione $F(t,b)$ che restituisce la probabilità che dopo $t$ secondi si sia bagnata una superficie di area $b$.
Attenzione una goccia può cadere su una superficie già bagnata!
Io inizio ad applicarmici stasera, qualcuno ha qualche idea su come risolverlo?
Abbiamo una superfice piana di area $A$, incomincia a piovere, le goccie cadono sulla superficie in punti completamente casuali, si sa solo che cadono $n$ goccie ogni secondo, ogni goccia bagna un unità di superficie, la bagna con una forma circolare.
Ora il problema è il seguente determinare la funzione $F(t,b)$ che restituisce la probabilità che dopo $t$ secondi si sia bagnata una superficie di area $b$.
Attenzione una goccia può cadere su una superficie già bagnata!
Io inizio ad applicarmici stasera, qualcuno ha qualche idea su come risolverlo?
Risposte
Interessante 
Purtroppo come vedete dalle mie poche frequentazioni del forum ultimamente non ho molto tempo, ma se mi capita provo a lavorarci un po' su.
Purtroppo come vedete dalle mie poche frequentazioni del forum ultimamente non ho molto tempo, ma se mi capita provo a lavorarci un po' su.
Un salutone a tutti, sono un nuovo utente!
Mi chiamo Simone, abito a Torino e frequento ingegneria, ma sono molto appassionato di matematica!
Per quanto riguarda la pioggia, Carlo, hai poi fatto dei passi avanti? Io non sono riuscito a rispondere alla tua domanda, ma scrivo quello che ho pensato, sperando che sia utile per risolvere il problema "tosto":
- Risolviamo un problema più semplice... cosa accade nel caso di una superficie piana infinita, su cui cadono $ip$ (intensità di pioggia
) goccie per unità di tempo e di area, supponengo che ogni goccia bagni una superficie circolare di area $Sg$? Vista però l'estensione infinita della superficie da analizzare, secondo me è possibile passare dal discreto al continuo, per cui: se chiamiamo $y(t)$ la frazione di superficie bagnata al tempo $t$, allora nell'intervallo di tempo che va da $t$ a $t+dt$ cadranno goccie che bagneranno una superficie $ip*dt*A_t*Sg$ dove $A_t$ è l'area dell'intera superficie piana ($A_t->infty$), di cui però solo la seguente è quella asciutta $ip*dt*A_t*Sg*(1-y(t))$ ($1-y(t)$ è la probabilità che ha una goccia al tempo $t$ di cadere su una superficie asciutta)!
Quindi l'ultima espressione scritta rappresenta l'incremento di area bagnata, che rapportato all'area totale e al $dt$ mi da $y'(t)$... notiamo come sia $dt$ che $A_t$ si semplifichino, ottenendo l'equazione differenziale:
$y'(t)=ip*Sg*(1-y(t))$
Che, abbinata alla condizione iniziale nulla:
$y(0)=0$
(All'inizio è tutto asciutto)
Costituisce un problema di Cauchy con soluzione:
$y(t)=1-e^(-ip*Sg*t)$
Che ne dite?! (Scusatemi per la lunghezza della risposta!)
Detto questo, per una superficie non infinita, si potrebbe approssimare $ip$ come $n/A$ ($n$ goccie al secondo, rapportate all'area su cui cadono, $A$)... ma il problema è così risolto in maniera deterministica, mentre Carlo chiede una funzione probabilità, che appunto ha senso solo se ragioniamo nel discreto, secondo me, come poi è nella realtà!
Credo però che $F(t,b)=0$, in quanto la probabilità che si sia bagnata una superficie ESATTAMENTE pari a $b$ è nulla, mentre si potrebbe passare alla funzione densità di probabilità $f(t,b)$... Io ho provato a ricavare un modello che date due goccie, dia la funzione densità di probabilità rispetto all'area della loro intersezione, per una superficie qualsiasi, trascurando i bordi... se volete la posto!
Ciaociao!
P.S. Sono un po' impegnato con alcuni esami
, scusate se non dovessi rispondere in giornata!
Mi chiamo Simone, abito a Torino e frequento ingegneria, ma sono molto appassionato di matematica
!Per quanto riguarda la pioggia, Carlo, hai poi fatto dei passi avanti? Io non sono riuscito a rispondere alla tua domanda, ma scrivo quello che ho pensato, sperando che sia utile per risolvere il problema "tosto":
- Risolviamo un problema più semplice... cosa accade nel caso di una superficie piana infinita, su cui cadono $ip$ (intensità di pioggia
) goccie per unità di tempo e di area, supponengo che ogni goccia bagni una superficie circolare di area $Sg$? Vista però l'estensione infinita della superficie da analizzare, secondo me è possibile passare dal discreto al continuo, per cui: se chiamiamo $y(t)$ la frazione di superficie bagnata al tempo $t$, allora nell'intervallo di tempo che va da $t$ a $t+dt$ cadranno goccie che bagneranno una superficie $ip*dt*A_t*Sg$ dove $A_t$ è l'area dell'intera superficie piana ($A_t->infty$), di cui però solo la seguente è quella asciutta $ip*dt*A_t*Sg*(1-y(t))$ ($1-y(t)$ è la probabilità che ha una goccia al tempo $t$ di cadere su una superficie asciutta)!Quindi l'ultima espressione scritta rappresenta l'incremento di area bagnata, che rapportato all'area totale e al $dt$ mi da $y'(t)$... notiamo come sia $dt$ che $A_t$ si semplifichino, ottenendo l'equazione differenziale:
$y'(t)=ip*Sg*(1-y(t))$
Che, abbinata alla condizione iniziale nulla:
$y(0)=0$
(All'inizio è tutto asciutto)
Costituisce un problema di Cauchy con soluzione:
$y(t)=1-e^(-ip*Sg*t)$
Che ne dite?! (Scusatemi per la lunghezza della risposta!)
Detto questo, per una superficie non infinita, si potrebbe approssimare $ip$ come $n/A$ ($n$ goccie al secondo, rapportate all'area su cui cadono, $A$)... ma il problema è così risolto in maniera deterministica, mentre Carlo chiede una funzione probabilità, che appunto ha senso solo se ragioniamo nel discreto, secondo me, come poi è nella realtà!
Credo però che $F(t,b)=0$, in quanto la probabilità che si sia bagnata una superficie ESATTAMENTE pari a $b$ è nulla, mentre si potrebbe passare alla funzione densità di probabilità $f(t,b)$... Io ho provato a ricavare un modello che date due goccie, dia la funzione densità di probabilità rispetto all'area della loro intersezione, per una superficie qualsiasi, trascurando i bordi... se volete la posto!
Ciaociao!
P.S. Sono un po' impegnato con alcuni esami
, scusate se non dovessi rispondere in giornata!
Ti confesso che ho messo da parte questo problema per dedicarmi ad altri
La tua risposta non è male, però non sono d'accordo sul Fatto che $F(t,b)=0$, infatti ciò implica che dopo $t$ la superficie bagnata non è nessun $b$ e ciò è impossibile.
Credo comunque che la tua via sia la mmigliore per risolvere questo problema...
Ciao, e benvenuto nel Forum!
La tua risposta non è male, però non sono d'accordo sul Fatto che $F(t,b)=0$, infatti ciò implica che dopo $t$ la superficie bagnata non è nessun $b$ e ciò è impossibile.
Credo comunque che la tua via sia la mmigliore per risolvere questo problema...
Ciao, e benvenuto nel Forum!
Io ho individuato due caratteristiche di questa funzione:
$AAb!=A$
$lim_{t to oo}F(t,b)=0$
$lim_{t to oo}F(t,b)=1$ se $b=A$
Che dovrebbe rappresentare che per un tempo infinito la superficie in oggetto si bagna tutta, e quindi la probabilità che sia bagnata una parte minore di A è nulla. Secondo me questa è una ipotesi ragionevole.
A voi il giudizio.
$AAb!=A$
$lim_{t to oo}F(t,b)=0$
$lim_{t to oo}F(t,b)=1$ se $b=A$
Che dovrebbe rappresentare che per un tempo infinito la superficie in oggetto si bagna tutta, e quindi la probabilità che sia bagnata una parte minore di A è nulla. Secondo me questa è una ipotesi ragionevole.
A voi il giudizio.
Aggiungo che secondo me otterremo una equazione alle derivate parziali....
Ciao Carlo e grazie per il benvenuto! 
Secondo me Giovanni il chimico ha ragione...
Però, ragazzi, mi spiego meglio sul fatto di $F(t,b)=0$....
Secondo me il problema è analogo a quanto capita in fisica, con la distribuzione Maxwelliana delle velocità in un gas in equilibrio; alla domanda: "Qual è la probabilità che una molecola del gas abbia velocità esattamente pari a $v$?" la risposta è "nessuna" mentre $EE$ ed è finito il rapporto fra la probabilità che una molecola abbia velocità appartenente ad un intorno di $v$ di ampiezza infinitesima $dv$ e tale ampiezza; questo rapporto si indica come $f(v)$ e, ovviamente:
$int_(v_1)^(v_2)f(v)dv$ è la probabilità che una molecola abbia velocità compresa tra $v_1$ e $v_2$
$int_(0)^inftyf(v)dv=1$
(Guardate questo link: http://lorax.chem.upenn.edu/Education/MB/MBjava.html)
Questo approccio è tipico delle distribuzioni statistiche di tipo continuo (normale, t-student, esponenziale, weibull ecc..) e, in pratica, pensavo potrebbe essere applicato anche in questo caso dove, ad un generico istante t, vi sono varie possibili aree bagnate... ed una funzione $f(t,b)$, tale che:
$int_(0)^(A)f(t_0,b)db=1$ $AA t_0 in [0,+infty]$
e, ovviamente, tale funzione sarà nulla per valori di $b$ superiori alla massima area bagnabile al tempo $t_o$ (se tutte le goccie cadono in posti diversi, detto brutalmente) e dopo la caduta della prima goccia sarà nulla anche per $b in [0,Sg]$... Inoltre il baricentro della funzione si sposterà sempre di più verso $A$ con il passare del tempo!
Quello che sono riuscito a fare io è, in sostanza, questo:
Mi sono detto, supponiamo di avere due goccie: la prima cade, ma in un punto qualsiasi; poi cade la seconda. Dove cadrà?
La probabilità che cada in un punto preciso è (stesso discorso di sopra) nulla, mentre è finita la probabilità che cada in una certa area... tutte le aree sono equiprobabili, quindi $(dA)/A$ è la probabilità che cada in una qualsiasi zona di area $dA$ sapendo che l'area totale della superficie piana vale $A$
Adesso supponiamo che la distanza fra i centri delle goccie sia $d$ ed $rg$ sia il raggio di una goccia; se $d<2rg$ vi è un'intersezione... in questo caso se indichiamo con $A$ e $B$ i punti di intersezione e $O_1$ e $O_2$ i centri delle due goccie, allora se $beta=angleAO_1B=angleAO_2B=2arcos(d/(2rg))$ l'area del triangolo $AO_1B$ vale $d/2*sqrt(rg^2-(d/2)^2)$ mentre l'area del settore circolare $AO_1B$ (o di $AO_2B$) vale $beta/2*rg^2=arcos(d/(2rg))rg^2$.
Quindi l'area dell'intersezione, che vale il doppo della differenza delle due aree vale in definitiva:
$2(arcos(d/(2rg))rg^2-d/2*sqrt(rg^2-(d/2)^2))$
Che quindi risulta solo funzione della distanza $d$ e che io chiamerei $I(d)$.
Ora, la probabilità che la distanza fra i centri delle due circonferenze sia compresa fra $d$ e $d+deltad$, pensando che la prima goccia sia già caduta e stia cadendo la seconda (probabilità condizionata) è proporzionale all'area del settore circolare centrato su $O_1$ e che "va" da $d$ a $d+deltad$ che, inserito nella formula scritta sopra, permette di ottenere:
$P=((pi/2)*d*deltad)/A
(Questo però richiede l'ipotesi che la seconda goccia possa cadere in tutti i punti della corona circolare, e che quindi la prima goccia non sia caduta vicino ad un bordo)
Come si vede, tale probabilità è infinitesima, ma è finito il rapporto fra essa e l'area dell'intersezione a cui corrisponde, ovvero $I(d)-I(d+deltad)=-I'(d)*deltad=2sqrt(rg^2-(d/2)^2)deltad
Tale rapporto vale:
$f=(pid)/(4Asqrt(rg^2-(d/2)^2))
In definitiva $AA d in [0,2rg]$ ci si trova $I$ e $f$ e quindi $f(I)$... e secondo me $int_(I_1)^(I_2)f(I)dI$ è proprio la probabilità che l'area dell'intersezione valga un valore compreso fra $I_1$ e $I_2$
Infine $f(I)=0$ per $I in [-infty,0]$ e $I in [pirg^2,infty]$, mentre in zero si concentra la probabilità dell'area in cui le due goccie non si intersecano, ovvero quando il centro della seconda goccia è esterno al cerchio centrato in $O_1$ e di raggio $2rg$ ($P_(est)=(A-pi(2rg)^2)/A$)... perciò secondo me, passando alla teoria delle distribuzioni in zero vi è una delta di Dirac, ovvero lì $f$ vale infinito ma in un intorno infinitesimo, tale che la sua area valga complessivamente $P_(est)$... su questo punto non ne sono sicuro però!
Spero di essere stato abbastanza chiaro, se no chiedetemi
P.S. Scusatemi per la lunghezza, che è esagerata! Mi spiace.. voi come fate ad essere così sintetici?!
Secondo me Giovanni il chimico ha ragione...
Però, ragazzi, mi spiego meglio sul fatto di $F(t,b)=0$....
Secondo me il problema è analogo a quanto capita in fisica, con la distribuzione Maxwelliana delle velocità in un gas in equilibrio; alla domanda: "Qual è la probabilità che una molecola del gas abbia velocità esattamente pari a $v$?" la risposta è "nessuna" mentre $EE$ ed è finito il rapporto fra la probabilità che una molecola abbia velocità appartenente ad un intorno di $v$ di ampiezza infinitesima $dv$ e tale ampiezza; questo rapporto si indica come $f(v)$ e, ovviamente:
$int_(v_1)^(v_2)f(v)dv$ è la probabilità che una molecola abbia velocità compresa tra $v_1$ e $v_2$
$int_(0)^inftyf(v)dv=1$
(Guardate questo link: http://lorax.chem.upenn.edu/Education/MB/MBjava.html)
Questo approccio è tipico delle distribuzioni statistiche di tipo continuo (normale, t-student, esponenziale, weibull ecc..) e, in pratica, pensavo potrebbe essere applicato anche in questo caso dove, ad un generico istante t, vi sono varie possibili aree bagnate... ed una funzione $f(t,b)$, tale che:
$int_(0)^(A)f(t_0,b)db=1$ $AA t_0 in [0,+infty]$
e, ovviamente, tale funzione sarà nulla per valori di $b$ superiori alla massima area bagnabile al tempo $t_o$ (se tutte le goccie cadono in posti diversi, detto brutalmente) e dopo la caduta della prima goccia sarà nulla anche per $b in [0,Sg]$... Inoltre il baricentro della funzione si sposterà sempre di più verso $A$ con il passare del tempo!
Quello che sono riuscito a fare io è, in sostanza, questo:
Mi sono detto, supponiamo di avere due goccie: la prima cade, ma in un punto qualsiasi; poi cade la seconda. Dove cadrà?
La probabilità che cada in un punto preciso è (stesso discorso di sopra) nulla, mentre è finita la probabilità che cada in una certa area... tutte le aree sono equiprobabili, quindi $(dA)/A$ è la probabilità che cada in una qualsiasi zona di area $dA$ sapendo che l'area totale della superficie piana vale $A$
Adesso supponiamo che la distanza fra i centri delle goccie sia $d$ ed $rg$ sia il raggio di una goccia; se $d<2rg$ vi è un'intersezione... in questo caso se indichiamo con $A$ e $B$ i punti di intersezione e $O_1$ e $O_2$ i centri delle due goccie, allora se $beta=angleAO_1B=angleAO_2B=2arcos(d/(2rg))$ l'area del triangolo $AO_1B$ vale $d/2*sqrt(rg^2-(d/2)^2)$ mentre l'area del settore circolare $AO_1B$ (o di $AO_2B$) vale $beta/2*rg^2=arcos(d/(2rg))rg^2$.
Quindi l'area dell'intersezione, che vale il doppo della differenza delle due aree vale in definitiva:
$2(arcos(d/(2rg))rg^2-d/2*sqrt(rg^2-(d/2)^2))$
Che quindi risulta solo funzione della distanza $d$ e che io chiamerei $I(d)$.
Ora, la probabilità che la distanza fra i centri delle due circonferenze sia compresa fra $d$ e $d+deltad$, pensando che la prima goccia sia già caduta e stia cadendo la seconda (probabilità condizionata) è proporzionale all'area del settore circolare centrato su $O_1$ e che "va" da $d$ a $d+deltad$ che, inserito nella formula scritta sopra, permette di ottenere:
$P=((pi/2)*d*deltad)/A
(Questo però richiede l'ipotesi che la seconda goccia possa cadere in tutti i punti della corona circolare, e che quindi la prima goccia non sia caduta vicino ad un bordo)
Come si vede, tale probabilità è infinitesima, ma è finito il rapporto fra essa e l'area dell'intersezione a cui corrisponde, ovvero $I(d)-I(d+deltad)=-I'(d)*deltad=2sqrt(rg^2-(d/2)^2)deltad
Tale rapporto vale:
$f=(pid)/(4Asqrt(rg^2-(d/2)^2))
In definitiva $AA d in [0,2rg]$ ci si trova $I$ e $f$ e quindi $f(I)$... e secondo me $int_(I_1)^(I_2)f(I)dI$ è proprio la probabilità che l'area dell'intersezione valga un valore compreso fra $I_1$ e $I_2$
Infine $f(I)=0$ per $I in [-infty,0]$ e $I in [pirg^2,infty]$, mentre in zero si concentra la probabilità dell'area in cui le due goccie non si intersecano, ovvero quando il centro della seconda goccia è esterno al cerchio centrato in $O_1$ e di raggio $2rg$ ($P_(est)=(A-pi(2rg)^2)/A$)... perciò secondo me, passando alla teoria delle distribuzioni in zero vi è una delta di Dirac, ovvero lì $f$ vale infinito ma in un intorno infinitesimo, tale che la sua area valga complessivamente $P_(est)$... su questo punto non ne sono sicuro però!
Spero di essere stato abbastanza chiaro, se no chiedetemi
P.S. Scusatemi per la lunghezza, che è esagerata! Mi spiace.. voi come fate ad essere così sintetici?!
Ciao a tutti, sono un nuovo utente,
non so se ho capito bene cosa richiesto, ma se il problema e' trovare la superficie bagnata ,in media,al variare del tempo $t$ credo che la funzione
$s(t)$ sia
$s(t)=A-A*e^((-N/A)*t)$
PS La superficie pertanto non sara' mai tutta bagnata, dato un tempo qualsiasi esistera' sempre un $ds$ asciutto.
Se vi interessa sapere come sono arrivato a questa conclusione spero di potervi rispondere domani, sono capitato sul vostro interessante sito un po' troppo tardi ed ora mi si chiudono gli occhi dal sonno. Buonanotte a tutti.
non so se ho capito bene cosa richiesto, ma se il problema e' trovare la superficie bagnata ,in media,al variare del tempo $t$ credo che la funzione
$s(t)$ sia
$s(t)=A-A*e^((-N/A)*t)$
PS La superficie pertanto non sara' mai tutta bagnata, dato un tempo qualsiasi esistera' sempre un $ds$ asciutto.
Se vi interessa sapere come sono arrivato a questa conclusione spero di potervi rispondere domani, sono capitato sul vostro interessante sito un po' troppo tardi ed ora mi si chiudono gli occhi dal sonno. Buonanotte a tutti.
Ciao e benvenuto, il problema è trovare una funzione $F(t,b)$ che $AA t,b$ restituisca la probabilità che a quel tempo $t$l'area bagnata abbia estensione $b$.
ciao Ottusangolo, anch'io sono pervenuto ad una formula uguale alla tua (leggi due miei post fa), ovvero esponenziale...
Però come dice giustamente giovanni il problema non sarebbe solo la determinazione della media, ma della distribuzione di probabilità!
Vedo che non vi ho convinti sul fatto che $F(t,b)=0$ eh?!?
Ovvero, ha ragione anche carlo con la sua obiezione... più precisamente, secondo me, $F(t,b)$ non vale 0 ma è infinitesima!
ciao
Però come dice giustamente giovanni il problema non sarebbe solo la determinazione della media, ma della distribuzione di probabilità!
Vedo che non vi ho convinti sul fatto che $F(t,b)=0$ eh?!?
Ovvero, ha ragione anche carlo con la sua obiezione... più precisamente, secondo me, $F(t,b)$ non vale 0 ma è infinitesima!
ciao
E se noi quantizzassimo l'area A, per multipli di b, in modo tale che un "quanto" o è bagnato totalmente o va conteggiato fra gli asciutti, allora direi che F(t,b) non è nè zero, nè infinyesima, mi sembra, no?
In quel caso no Giovanni, effettivamente non sarebbe né nulla né infinitesima!
Però come sviluppare un modello del fenomeno in quel caso?
Può anche darsi che non esista una soluzione in forma chiusa, ma, non si potrebbe utilizzare il modello di interazione fra due goccie che ho ipotizzato sopra, con l'impiego della $f(I)$, per estendere il ragionamento ad un sistema di goccie?!?
Io la vedo così: se $f(I)$ rappresenta la distribuzione statistica della vadiabile $I$ (area dell'intersezione), allora nota questa è possibile, per ogni nuova goccia che cade dopo la prima, ad esempio per l'$n$-esima, valutare la distribuzione delle intersezioni $I1$, $I2$,...,$In-1$ con le $n-1$ goccie cadute prima, e quindi anche la distribuzione dell'area bagnata che... effettivamente era già bagnata e quindi che non apporta nessun nuovo contributo! Il problema è che non so valutare la distribuzione dell'intersezione combinata fra 3, 4 ecc.. goccie 
forse questo potrebbe essere un problema!
Adesso vado un po' a studiare x l'uni... ma, se volete, ditemi cosa non vi convince!
ciaociao
P.S. E se nei momenti di tempo libero scrivessimo un software di simulazione?
Però come sviluppare un modello del fenomeno in quel caso?
Può anche darsi che non esista una soluzione in forma chiusa, ma, non si potrebbe utilizzare il modello di interazione fra due goccie che ho ipotizzato sopra, con l'impiego della $f(I)$, per estendere il ragionamento ad un sistema di goccie?!?
Io la vedo così: se $f(I)$ rappresenta la distribuzione statistica della vadiabile $I$ (area dell'intersezione), allora nota questa è possibile, per ogni nuova goccia che cade dopo la prima, ad esempio per l'$n$-esima, valutare la distribuzione delle intersezioni $I1$, $I2$,...,$In-1$ con le $n-1$ goccie cadute prima, e quindi anche la distribuzione dell'area bagnata che... effettivamente era già bagnata
e quindi che non apporta nessun nuovo contributo! Il problema è che non so valutare la distribuzione dell'intersezione combinata fra 3, 4 ecc.. goccie forse questo potrebbe essere un problema!Adesso vado un po' a studiare x l'uni... ma, se volete, ditemi cosa non vi convince!
ciaociao
P.S. E se nei momenti di tempo libero scrivessimo un software di simulazione?
Ciao a tutti! Non ho avuto tempo per inviare la dimostrazione della formula trovata , ma vedo che il problema è diverso. Nell'ipotesi semplificative che le gocce siano piccole (non conti cioè la loro forma),cadano una dopo l'altra, ecc , in modo da ricondurre il problema al seguente: data una regione di aera A, tassellata con M tasselli , trovare la probabilità che colorando alla cieca, un tassello alla volta per N volte,si ottenga una regione colorata di area B=Ktasselli, allora posso anche sperare di risolverlo ( e ci proverò ora, nella pausa pranzo) altrimenti ci rinuncio a priori. Vi auguro un grosso in bocca al lupo e resto in attesa,con impazienza, di leggere la soluzione!
Secondo me qua non esiste "la" soluzione , ma dipende molto dalle ipotesi semplificative che necessariamente si fanno per risolvere... che se sono "illuminate" permetto di mantenere comunque buona aderenza con la realtà!
Interessante la tua, ottusangolo: non so se può aiutarti, ma pensavo che, se vogliamo una funzione $p(N,B)$ che mi dice la probabilità al passo $N$ di avere colorato $B$ tasselli, potremmo dire che tale probabilità e la somma (perché sono indipendenti) della probabilità questi due eventi: che al passo $N-1$ abbiamo colorato $B-1$ tasselli ($p(N-1,B-1)$) ed al passo $N$ ne coloriamo uno nuovo (la probabilità condizionata è $(M-(B-1))/M$, ovvero tasselli "liberi" sul totale), oppure che al passo $N-1$ abbiamo colorato $B$ tasselli ($p(N-1,B)$) ed al passo $N$ ne coloriamo uno già precedentemente colorato (la probabilità condizionata è, analogamente a prima, $B/M$, ovvero tasselli "colorati" sul totale).
In definitiva:
$p(N,B)=p(N-1,B-1)*(M-(B-1))/M+p(N-1,B)*B/M$
Con le seguenti osservazioni:
$p(N,B)=0$ se $B<=0$ (infatti non avrebbe senso... includo anche lo zero perché, al primo passo, almeno una è colorata)
$p(1,B)=1$ solo se $B=1$ e zero diversamente
A questo punto però, non so come continuare
Dite che comunque la mia strada è praticabile (ammesso di non aver sbagliato le probabilità che ho scritto sopra)?
Ciao
, ma dipende molto dalle ipotesi semplificative che necessariamente si fanno per risolvere... che se sono "illuminate" permetto di mantenere comunque buona aderenza con la realtà!Interessante la tua, ottusangolo: non so se può aiutarti, ma pensavo che, se vogliamo una funzione $p(N,B)$ che mi dice la probabilità al passo $N$ di avere colorato $B$ tasselli, potremmo dire che tale probabilità e la somma (perché sono indipendenti) della probabilità questi due eventi: che al passo $N-1$ abbiamo colorato $B-1$ tasselli ($p(N-1,B-1)$) ed al passo $N$ ne coloriamo uno nuovo (la probabilità condizionata è $(M-(B-1))/M$, ovvero tasselli "liberi" sul totale), oppure che al passo $N-1$ abbiamo colorato $B$ tasselli ($p(N-1,B)$) ed al passo $N$ ne coloriamo uno già precedentemente colorato (la probabilità condizionata è, analogamente a prima, $B/M$, ovvero tasselli "colorati" sul totale).
In definitiva:
$p(N,B)=p(N-1,B-1)*(M-(B-1))/M+p(N-1,B)*B/M$
Con le seguenti osservazioni:
$p(N,B)=0$ se $B<=0$ (infatti non avrebbe senso... includo anche lo zero perché, al primo passo, almeno una è colorata)
$p(1,B)=1$ solo se $B=1$ e zero diversamente
A questo punto però, non so come continuare
Dite che comunque la mia strada è praticabile (ammesso di non aver sbagliato le probabilità che ho scritto sopra)?
Ciao
Ottimo Cecil , ragionamento molto elegante e credo anche efficace. Perché non provare ad iterare la formula trovata ? Non dovrebbe essere difficile determinare poi P(N-B+1,1) e P(N-B+1,2) che devono essere ovviamente calcolati in modo diretto. In verità una formula risolutiva,basata sui coefficienti binomiali, del modello semplificato proposto credo di avrela trovata ma non ho tempo ora per riportarla e vorrei ricontrollare il tutto con calma per evitare granchi colossali. Spero di poterlo fare stasera.Ciao a tutti.
Ciao a tutti.
Ecco a cosa sono arrivato, Cecil:
sia A composto da a tasselli, sia B composto da b tasselli e sia N(t) il numero di volte che si colora alla cieca in un tempo t.
Le regioni di area B, formate cioè da b tasselli, contenute in A sono in numero di
$C(a;b)=(a!)/(b!*(a-b)!)$
Ognuna di esse si può ottenere in $sum_{k=1}^{N-b}C(N;k)$ modi diversi dopo N passi e quindi abbiamo $R(N,a,b)={sum_{k=1}^{N-b}C(N;k)}*C(a;b) $regioni di b tasselli, colorate in N passi.La probabilità,F(N,b),di ottenere una di queste regioni sarà data da R(N;a;b) diviso per il numero complessivo delle regioni ottenute in modi distinti e la cui estensione varia da 1 a N tasselli.
Tale numero è$ W(N,a,b)=sum_{j=1}^{N}{{sum_{k=1}^{N-j}C(N;k)}*C(a;j)}$.
Abbiamo così, o almeno spero, $F(N(t),b)=R/W
Ecco a cosa sono arrivato, Cecil:
sia A composto da a tasselli, sia B composto da b tasselli e sia N(t) il numero di volte che si colora alla cieca in un tempo t.
Le regioni di area B, formate cioè da b tasselli, contenute in A sono in numero di
$C(a;b)=(a!)/(b!*(a-b)!)$
Ognuna di esse si può ottenere in $sum_{k=1}^{N-b}C(N;k)$ modi diversi dopo N passi e quindi abbiamo $R(N,a,b)={sum_{k=1}^{N-b}C(N;k)}*C(a;b) $regioni di b tasselli, colorate in N passi.La probabilità,F(N,b),di ottenere una di queste regioni sarà data da R(N;a;b) diviso per il numero complessivo delle regioni ottenute in modi distinti e la cui estensione varia da 1 a N tasselli.
Tale numero è$ W(N,a,b)=sum_{j=1}^{N}{{sum_{k=1}^{N-j}C(N;k)}*C(a;j)}$.
Abbiamo così, o almeno spero, $F(N(t),b)=R/W
ciao ottusangolo, complimenti per il ragionamento!
domani ho un orale importante ma poi mi dedicherò al problema...
ma secondo te si può trovare una formula risolutiva diretta, senza le sommatorie?!? (bel problema
)
ciao
domani ho un orale importante ma poi mi dedicherò al problema...
ma secondo te si può trovare una formula risolutiva diretta, senza le sommatorie?!? (bel problema
)ciao
Ciao,Cecil!
Un grosso in bocca al lupo per l'esame!
La "filosofia" del ragionamento che ho esposto è giusta ma purtroppo la mia intenzione era fare matematica e invece ho clamorosamente sbagliato il calcolo di R(N,a,b) e questo per aver ingenuamente generalizzato quanto trovato per b=2
Dubito di riuscire a fare progressi su questa strada, come dubito si possa trovare una formula senza sommatorie o produttorie.Forse è meglio lasciar perdere questo maledetto problema!
Un saluto a tutti.
Un grosso in bocca al lupo per l'esame!
La "filosofia" del ragionamento che ho esposto è giusta ma purtroppo la mia intenzione era fare matematica e invece ho clamorosamente sbagliato il calcolo di R(N,a,b) e questo per aver ingenuamente generalizzato quanto trovato per b=2
Dubito di riuscire a fare progressi su questa strada, come dubito si possa trovare una formula senza sommatorie o produttorie.Forse è meglio lasciar perdere questo maledetto problema!
Un saluto a tutti.
Ciao a tutti!
Forse sono stato troppo pessimista. Al risveglio è arrivata l'idea giusta.
La probabilità F(N(t),a,b) dovrebbe essere data dalla seguente formula che devo però ricontrollare potendo essere errata (ed in effetti mi sembra fin troppo semplice!) In tal caso si tratterebbe di aggiustare qualche passaggio ma il ragionanento generale dovrebbe essere o.k.
Spero dopo la partita di farlo e poter giustificare perchè ritengo che la F sia data da:
$ F=(b^(N-b)*a!)/((a^N)*(a-b)!)$
Forse sono stato troppo pessimista. Al risveglio è arrivata l'idea giusta.
La probabilità F(N(t),a,b) dovrebbe essere data dalla seguente formula che devo però ricontrollare potendo essere errata (ed in effetti mi sembra fin troppo semplice!) In tal caso si tratterebbe di aggiustare qualche passaggio ma il ragionanento generale dovrebbe essere o.k.
Spero dopo la partita di farlo e poter giustificare perchè ritengo che la F sia data da:
$ F=(b^(N-b)*a!)/((a^N)*(a-b)!)$
Salve! Ultimo mio intervento sull'argomento e spero finalmente risolutivo.
Sia a il numero di tasselli (uguali ad una goccia) che coprono la sup.A, sia n(t) il numero di goccie cadute a caso(ma non contemporaneamente) su A,in un tempo t.Si richiede la probabilità,F(n,b) che le n gocce bagnino una regione qualsiasi di dimensione b<=a.
Fissiamo una regione B ,di b-tasselli, osservando che in A vi sono $(a!)/((b!)*(a-b)!)$ regioni di tale estensione.Fissiamo un sottoinsieme di b gocce delle n. Analogamente il numero di tali sottoinsiemi è $(n!)/((b!)*((n-b)!))$.
Ora la prob. che le n gocce cadano tutte in B è$ (b/a)^n$ prodotto di n prob.(b/a) indipendenti.Occorre inoltre affinchè B sia tutta bagnata che b gocce cadano tutte sull'asciutto.
La prob.che una sequenza b di n realizzi ciò è (b/b)*(b-1/b)*...(1/b) cioè $(b!)/((b)^b)$.
Pertanto la prob.richiesta è
$F(n,b,a)=[(b/a)^n]*[(b!)/((b)^b)]*[(n!)/((b!)*((n-b)!))]*(a!)/((b!)*((a-b)!))$
Oss: l'approssimazione al caso reale è tanto migliore quanto più le gocce sono piccole rispetto a B con errore ,credo, e<=(raggio goccia)*(lung.perimetro di B)/(area di B)
Sia a il numero di tasselli (uguali ad una goccia) che coprono la sup.A, sia n(t) il numero di goccie cadute a caso(ma non contemporaneamente) su A,in un tempo t.Si richiede la probabilità,F(n,b) che le n gocce bagnino una regione qualsiasi di dimensione b<=a.
Fissiamo una regione B ,di b-tasselli, osservando che in A vi sono $(a!)/((b!)*(a-b)!)$ regioni di tale estensione.Fissiamo un sottoinsieme di b gocce delle n. Analogamente il numero di tali sottoinsiemi è $(n!)/((b!)*((n-b)!))$.
Ora la prob. che le n gocce cadano tutte in B è$ (b/a)^n$ prodotto di n prob.(b/a) indipendenti.Occorre inoltre affinchè B sia tutta bagnata che b gocce cadano tutte sull'asciutto.
La prob.che una sequenza b di n realizzi ciò è (b/b)*(b-1/b)*...(1/b) cioè $(b!)/((b)^b)$.
Pertanto la prob.richiesta è
$F(n,b,a)=[(b/a)^n]*[(b!)/((b)^b)]*[(n!)/((b!)*((n-b)!))]*(a!)/((b!)*((a-b)!))$
Oss: l'approssimazione al caso reale è tanto migliore quanto più le gocce sono piccole rispetto a B con errore ,credo, e<=(raggio goccia)*(lung.perimetro di B)/(area di B)
Ottusangolo grazie per l'in bocca al lupo, l'esame è andato bene !
Ho solo un dubbio sul tuo ragionamento, dimmi se ho capito bene:
$1)$ Ci sono varie regioni distinte con area di $b$ tasselli in una regione con area pari ad $a$ tasselli, e tu le hai enumerate; chiamiamo queste regioni $B_1$, $B_2$,...,$B_i$,... e concentriamoci su una sola di esse.
$2)$ Intanto tutte le $n$ goccie devono cadere in essa
$3)$ Inoltre tutti gli elementi di una tra le varie possibili sequenze di $b$ goccie (che tu hai anche qui enumerato)...
$4)$ Devono cadere sull'asciutto per riempire l'area
Poi tu hai moltiplicato quanto hai trovato ai punti $1)$, $2)$, $3)$ e $4)$.
Ecco il mio dubbio: Il prodotto di quanto trovato ai punti $2)$, $3)$ e $4)$, ovvero:
$[(b/a)^n]*[(b!)/((b)^b)]*[(n!)/((b!)*((n-b)!))]$
Dovrebbe rappresentare la probabilità che le $n$ goccie cadano non più su una GENERICA area composta di $b$ tasselli, ma su una in particolare, ad esempio la $B_i$.
Quindi moltiplicare quasta probabilità per $(a!)/((b!)*((a-b)!))$ significa, credo, considerare gli eventi "le goccie bagnano $B_1$", "le goccie bagnano $B_2$" ecc... come indipendenti.
Infatti, immaginiamo (anche se non è così) di avere solo due possibili aree $B_1$ e $B_2$... allora
$F(n,b,a)=P(B_1uuB_2)=P(B_1)+P(B_2)-P(B_1nnB_2)=2*P(B_1)-P(B_1nnB_2)$
Che è uguale a $2*P(B_1)$ solo se $P(B_1nnB_2)=0$... Qui secondo me è corretto, perché per tu intendi come evento "le goccie bagnano SOLO $B_1$ e NIENT'ALTRO" quindi è impossibile che bagnino sia $B_1$ che $B_2$.
Dopo invece fai una ragionamento analogo: ti concentri su una sequenza di $b$ goccie imponendo che ognuna di esse cada in un tassello diverso... Ma secondo me moltiplicare poi questa probabilità per $(n!)/((b!)*((n-b)!))$ significa ancora una volta considerare gli eventi come indipendenti, ma in questo caso è possibile che ci sia più di una sequenza, ciascuna di $b$ elementi, che bagni tutta la suerficie di area $b$
Tu non credi che dovremmo anche considerare la probabilità delle intersezioni?!?
Comunque sia hai ragione, direi che questo problema l'abbiamo analizzato abbastanza
Ciao!
!Ho solo un dubbio sul tuo ragionamento, dimmi se ho capito bene:
$1)$ Ci sono varie regioni distinte con area di $b$ tasselli in una regione con area pari ad $a$ tasselli, e tu le hai enumerate; chiamiamo queste regioni $B_1$, $B_2$,...,$B_i$,... e concentriamoci su una sola di esse.
$2)$ Intanto tutte le $n$ goccie devono cadere in essa
$3)$ Inoltre tutti gli elementi di una tra le varie possibili sequenze di $b$ goccie (che tu hai anche qui enumerato)...
$4)$ Devono cadere sull'asciutto per riempire l'area
Poi tu hai moltiplicato quanto hai trovato ai punti $1)$, $2)$, $3)$ e $4)$.
Ecco il mio dubbio: Il prodotto di quanto trovato ai punti $2)$, $3)$ e $4)$, ovvero:
$[(b/a)^n]*[(b!)/((b)^b)]*[(n!)/((b!)*((n-b)!))]$
Dovrebbe rappresentare la probabilità che le $n$ goccie cadano non più su una GENERICA area composta di $b$ tasselli, ma su una in particolare, ad esempio la $B_i$.
Quindi moltiplicare quasta probabilità per $(a!)/((b!)*((a-b)!))$ significa, credo, considerare gli eventi "le goccie bagnano $B_1$", "le goccie bagnano $B_2$" ecc... come indipendenti.
Infatti, immaginiamo (anche se non è così) di avere solo due possibili aree $B_1$ e $B_2$... allora
$F(n,b,a)=P(B_1uuB_2)=P(B_1)+P(B_2)-P(B_1nnB_2)=2*P(B_1)-P(B_1nnB_2)$
Che è uguale a $2*P(B_1)$ solo se $P(B_1nnB_2)=0$... Qui secondo me è corretto, perché per tu intendi come evento "le goccie bagnano SOLO $B_1$ e NIENT'ALTRO" quindi è impossibile che bagnino sia $B_1$ che $B_2$.
Dopo invece fai una ragionamento analogo: ti concentri su una sequenza di $b$ goccie imponendo che ognuna di esse cada in un tassello diverso... Ma secondo me moltiplicare poi questa probabilità per $(n!)/((b!)*((n-b)!))$ significa ancora una volta considerare gli eventi come indipendenti, ma in questo caso è possibile che ci sia più di una sequenza, ciascuna di $b$ elementi, che bagni tutta la suerficie di area $b$
Tu non credi che dovremmo anche considerare la probabilità delle intersezioni?!?
Comunque sia hai ragione, direi che questo problema l'abbiamo analizzato abbastanza
Ciao!
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