Piccolo problema di geometria

[fu^2]

Sia AOB un triangolo qualsiasi con l'angolo in $AhatOB=2alpha$, sia D il punto di intersezione tra la bisettrice con il lato AB.
posto quindi $AO=y$, $OB=z$, $OD=p$ dimostare che:
1. $yzsin2alpha=p(y+z)sinalpha$
2.$sqrt(yz)cosalpha>=p$

[blackdie]

Per la prima basta sapere che quelle l'area di un triangolo è $1/2ab*sin(alpha)$ dove $alpha$ è l'angolo compreso.

[neopeppe89]

sisi prima semplice...ora lavoro alla seconda anche se non credo d riuscirla a risolvere...

[bboypa]

(a) semplicemente $2S(AOB)=2S(AOD)+2S(ODB) \leftrightarrow yz\sin{2\alpha}=p(y+z)\sin{\alpha}$

(b) dato che $\alpha \in [0,\frac{\pi}{2}) \implies \cos{\alpha}>0$ allora $p=\frac{yz \sin{2\alpha}}{(y+z)\sin{\alpha}} \le (yz)^{1/2}\cos{\alpha}$ $\leftrightarrow 2(yz)^{1/2} \le y+z \leftrightarrow (\sqrt{y}-\sqrt{z})^2 \ge 0$.

[fu^2]

perfetto!

[GodR1n0]

Scusate la mia ignoranza ma non riesco a capire la risoluzione di bboypa :2S(AOB)=2S(AOD)+2S(ODB)↔yzsin{2α}=p(y+z)sin{α} .
Io l'ho risolto partendo dalla formula per ricavare la bisettrice:
p= (2*zy*cosα) : (z+y)
-p*(z+y)=2*zy*cosα
-moltiplico ambo i membri per sinα
-trasformo 2 sinα*cosα in sin2α e dimostro quanto chiesto.