Piccolo giochino di combinatoria.

[Kashaman]

Dire se è vera oppure falsa la seguente affermazione :
Sia $n in NN$
Se$ n>=1 $ allora $n!<=n^n$
nel caso fosse falsa, fornire un controesempio.
Nel caso fosse vera, dimostrarla,

Buon divertimento

[Kashaman]

Ho partorito questa disuguaglianza studiando un po di combinatoria sulle funzioni, magari è nota da secoli, però è molto carina.E penso che ci sono infiniti modi per approcciare il problema. Uno tra quelli penso sia quello analitico, oppure su induzione su n, che non toccherò. Scelgo una giustificazione combinatoria,che è molto semplice ed intuitiva. (sperando sempre nella correttezza di ciò che dico!)
Teorema :sia $n in NN$. Se $n>=1$ allora $n!<=n^n$
notiamo innanzitutto che se $n<1$ e cioè $n=0$ il teorema non vale. Infatti , $0!$$=1<=0^0$. Infatti avrei qualcosa di non ben esposto. Il termine $0^0$ non ha significato in $NN$.
Oltremodo se $n=1$ è banalmente vero che $1!<=1^1=1$ infatti vale l'uguaglianza. (1)
Ora quindi mi resta da provare che $AA n >1 : n!<=n^n$
Consideriamo l'insieme $X={1,2,.....,n}$, e sia $X^X={f|f:X->X}$
è arcinoto che,qualunque sia $n$, $Card(X)=n^n$
Consideriamo $B={f in X^X |$f è bigettiva$}$.
Ovviamente $B sube X^X$ ma se $n>1$ $B!=X^X$ .
Infatti, non tutte le applicazioni di $X^X$ sono bigettive, basti pensare alla funzione $id : X-> X$ identica.
Dunque $Card(B) Essendo $B$ finito e gli elementi di $B$ applicazioni biettive da $X->X$, risulta allora che $B=S_n$.
Infatti ogni $b in B$ è una permutazione su $n$ elementi.
Poiché è noto che $Card(S_n)=n!$
segue allora che $Card(B)=Card(S_n)=n! da uno e due segue che per ogni $n>=1 $ si ha che $n!<=n^n$ . In particolare la disuguaglianza è stretta, se $n!=1$

[Gi81]

Vogliamo dimostrare che \[ \forall n \in \mathbb{N}\setminus \{0\} \qquad n! \leq n^n\]
Sia il termine a sinistra ($n!$) sia quello a destra ($n^n$) possono essere scomposti nel prodotto di $n$ fattori:
\[n! = 1\cdot 2 \cdot 3\ldots \cdot n; \qquad n^n = n \cdot n \cdot \ldots \cdot n \qquad \text{(*)}\]
Ora, certamente vale \(n > n-1 > n-2 > \ldots > 3 > 2 > 1 \).

Ecco, in \(\displaystyle \text{(*)} \), per ogni $ i in {1,2,3,...,n}$
si ha che l'$i$-esimo fattore di $n!$ è minore o uguale all'$i$-esimo fattore di $n^n$.
Da cui la tesi.

[giammaria2]

Aggiungo un giochino simile: per $n->oo$ dire (dimostrandolo) a cosa tende la successione il cui generico termine è $a_n=((2n)!)/(n^n)$.
Ho anche esaminato la successione data da $b_n=((2n)!)/(n^(2n))$ ma riesco solo a dimostrare che non tende ad infinito.

[Kashaman]

"Gi8":

Vogliamo dimostrare che \[ \forall n \in \mathbb{N}\setminus \{0\} \qquad n! \leq n^n\]
Sia il termine a sinistra ($n!$) sia quello a destra ($n^n$) possono essere scomposti nel prodotto di $n$ fattori:
\[n! = 1\cdot 2 \cdot 3\ldots \cdot n; \qquad n^n = n \cdot n \cdot \ldots \cdot n \qquad \text{(*)}\]
Ora, certamente vale \(n > n-1 > n-2 > \ldots > 3 > 2 > 1 \).

Ecco, in \(\displaystyle \text{(*)} \), per ogni $ i in {1,2,3,...,n}$
si ha che l'$i$-esimo fattore di $n!$ è minore o uguale all'$i$-esimo fattore di $n^n$.
Da cui la tesi.

[Gi81]

@giammaria: per quanto riguarda $a_n$

Non è difficile dimostrare che $a_n>n!$

Devo riflettere ancora un po' su $b_n$

[giammaria2]

Per $a_n$ io avevo dato un'altra dimostrazione.

$a_n=n!*(n+1)/n*(n+2)/n*...*(2n)/n$
e poiché il primo fattore tende ad infinito e gli altri sono maggiori di uno, il tutto tende ad infinito.

Dopo l'altro post, ho trovato la dimostrazione che $b_n$ tende a zero ma mi piace poco; ne vedrò volentieri qualche altra.

[Gi81]

@giammaria: per $a_n$ hai ragione. Ho pensato anch'io così, ma ho scritto un'altra cosa. Ora correggo

Venendo a $b_n$

$b_n = ((2n)!)/(n^(2n))= ((2n)!)/((2n)^(2n))* ((2n)^(2n))/(n^(2n))= ((2n)!)/((2n)^(2n))* 2^(2n) = prod_{j=1}^{2n} (2j)/(2n)= prod_{j=1}^{2n} j/n =$
l'ultimo fattore della produttoria vale $2$: lo porto fuori.
Inoltre il fattore $n$-esimo vale $1$, quindi può essere "tolto".
Infine, posso raggruppare i fattori a due a due:
$ =2* prod_{i=1}^{n-1} [((n-i)/(n) )* ((n+i)/(n))]=$
porto fuori l'ultimo fattore:
$=2*[1/n *(2n-1)/n ] *prod_{i=1}^{n-2} [(n^2-i^2)/(n^2)]$

Dunque $b_n = (2(2n-1))/(n^2) *prod_{i=1}^{n-2} [(n^2-i^2)/(n^2)]$, naturalmente se $n>=3$

Ora, $2(2n-1)/(n^2)<1$ per ogni $n>=3$ (infatti quella disequazione è equivalente a $n^2-4n+2>0$)
e anche tutti i fattori della produttoria sono strettamente minori di $1$ (banale).

Dunque $AA n>=3$ si ha $b_n <1$.


Però non riesco a dimostrare che $lim_{n->+oo}b_n=0$ ...

[giammaria2]

La tua risposta è quasi identica alla mia; avevo solo aggiunto un passaggio.

Come giustamente dici, tutti i fattori della produttoria sono minori di uno (e positivi), quindi lo è anche la produttoria e ne consegue

$b_n<(2(2n-1))/(n^2)$

Essendo $b_n>0$ e tendendo a zero il secondo membro, per il criterio del confronto anche $b_n$ lo fa.

[Gi81]

Giusto!