Piccola dimostrazione

[xXStephXx]

Dimostrare che se a un numero viene sottratta la somma delle sue cifre, il risultato ottenuto è multiplo di $9$.
Una soluzione l'ho trovata, ma son curioso di vedere le altre.

Dopo averlo dimostrato (ma solo dopo), provate questo gioco xD Trovate l'inghippo.

[Meringolo1]

Perchè per ogni decina il numero da sottrarre cresce linearmente, così come i multipli di 9 decrescono linearmente di 1 rispetto ai multipli di 10. La cifra a fianco (quella a destra) bilancia la "distanza" dal multiplo del 9 con quello che va sottratto, dunque non influisce.

Dunque, per ogni decina ci allontaniamo dal multiplo di 10, di 1, ossia il numero della decina stessa.

Simpatico il test. All'inizio pensavo che la webcam mi leggesse il movimento delle pupille per capire cosa guardassi, dato che non davo nessun input al computer

[xXStephXx]

Io ho usato il criterio di congruenza di $9$.

Prendiamo un numero $n=9q+r$ (dove $q$ è il quoziente della divisione per $9$ ed $r$ il resto della divisione) e chiamo $s$ la somma delle sue cifre.
Per il criterio di congruenza di $9$ un numero è congruo alla somma delle sue cifre modulo $9$.
Quindi: $n-=s (mod 9)$
Pertanto $s$ lo posso scrivere come $9q_1 + r$ (stesso resto di $n$ ma diverso quoziente).
La differenza è uguale a $9q+r-9q_1-r = 9(q-q_1)$ che è sempre un multiplo di $9$.

Alla fine è la stessa cosa.
Già che ci siamo un buon esercizio dimostrativo è dimostrare per induzione il criterio di congruenza di $9$ e $3$.