Piastrelle

[axpgn]

Determinare uno schema per ricoprire tutto il piano con una figura come nell'immagine (due pezzi di domino $2 xx 1$ con uno spazio vuoto $1 xx 1$ fra loro però la figura è un pezzo unico, "legato" se così posso dire).

Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Ci costruisci una sorta di T traslata e ruotata opportunamente copri il piano. Per semplicità numeriamo numeriamo le caselle con le coordinate (tipo la battaglia navale per intenderci, solo che invece dei numeri e le lettere usiamo \( \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \). Mettiamo, senza perdita di generalità una tessera in \((0,0) \) che copre quindi: \( (-4,0),(-3,0) \) e \((-1,0),(0,0)\) e lascia lo spazio vuoto in \((-2,0) \), questa la chiamo tessera \(A(x,y) \) dove \( (x,y) \) è il punto da cui comincia, per cui \( A(0,0) = \{ (-4,0),(-3,0) ,(-1,0),(0,0) \} \). Ora mettiamo un'altra tessera andando a riempire lo spazio vuoto lasciato dalla prima, e quindi andiamo a coprire \((-2,0) \), \((-2,-1) \), e \( (-2,-3) \) e \((-2,-4) \) e lascia lo spazio vuoto in \((-2,-2)\). Bene! Questa tessera la chiamo \( B(x,y) \), quindi \( B(-2,0) = \{ (-2,0) (-2,-1) (-2,-3) (-2,-4) \} \). Ora continuamo così. Ora l'unione la chiamo \(T(0,0)= A(0,0) \cup B(-2,0) \). Questo insieme rappresenta la "T" iniziale. Trasliamo la prima \( T(-2,-2) \). Notiamo che in questo modo \( T(-2,-2)= A(-2,-2) \cup B(-4,-2) \). E continuiamo così. Prendiamo \[ X(0)=\bigcup_{ n \in \mathbb{Z} } T(2n,2n). \]
L'insieme \( X(0) \) rappresenta in un qualche modo una diagonale tutta intera di \(T\) traslate sempre di due unità in ogni componente. Ora trasliamo orizzontalmente questa figura per multipli di \(8\). E formiamo gli insiemi della forma
\[ X(m) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z} } T(2n+8m,2n) \]
Ora basta prendere
\[ X = \bigcup_{m \in \mathbb{Z} } X(m) \]
Per coprire gli spazi vuoti, dovrebbe essere sufficiente ruotare \(X\) di 180 gradi e incastrarlo con una giusta traslazione. E dovremmo aver ricoperto il piano.

[axpgn]

Devo farmi una verifica, ci vorrà tempo
Un disegnino, no? Io ce l'ho un bel disegnino ...

Comunque mi pare ci siano un po' troppi "dovremmo"

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Se hai LaTeX puoi mettere il seguente codice e ti fa il disegnino in teoria (a me lo fa):

\usepackage{tikz}
\begin{document}


\begin{center}
    

\begin{tikzpicture}
    % Imposta il colore e lo stile della griglia
    \draw[step=1cm,gray,very thin] (0,0) grid (16,16);
    
    % Colora alcune celle
    \fill[blue!30] (0,0) rectangle (1,1); % Colora di blu
    \fill[blue!30] (2,2) rectangle (3,3);   % Colora di blu
    \fill[blue!30] (1,2) rectangle (2,3);   % Colora di blu
    %altra
    \fill[blue!30] (4,4) rectangle (5,5);   % Colora di blu
    \fill[blue!30] (3,4) rectangle (4,5);    % Colora di blu
    \fill[blue!30] (0,4) rectangle (1,5);   % Colora di blu
    \fill[blue!30] (1,4) rectangle (2,5);   % Colora di blu
    %altra
    \fill[blue!30] (6,6) rectangle (7,7);  % Colora di blu
    \fill[blue!30] (5,6) rectangle (6,7);   % Colora di blu
    \fill[blue!30] (2,6) rectangle (3,7);   % Colora di blu
    \fill[blue!30] (3,6) rectangle (4,7);  % Colora di blu
     %altra
    \fill[blue!30] (8,8) rectangle (9,9);   % Colora di blu
    \fill[blue!30] (7,8) rectangle (8,9);   % Colora di blu
    \fill[blue!30] (4,8) rectangle (5,9);  % Colora di blu
    \fill[blue!30] (5,8) rectangle (6,9);  % Colora di blu
     %altra
    \fill[blue!30] (10,10) rectangle (11,11);  % Colora di blu
    \fill[blue!30] (9,10) rectangle (10,11);  % Colora di blu
    \fill[blue!30] (6,10) rectangle (7,11);  % Colora di blu
    \fill[blue!30] (7,10) rectangle (8,11);  % Colora di blu
    %altra
    \fill[blue!30] (12,12) rectangle (13,13);   % Colora di blu
    \fill[blue!30] (11,12) rectangle (12,13);   % Colora di blu
    \fill[blue!30] (8,12) rectangle (9,13);   % Colora di blu
    \fill[blue!30] (9,12) rectangle (10,13);   % Colora di blu

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    %altra
    \fill[blue!70] (10,12) rectangle (11,13);   % Colora di blu scuro
    \fill[blue!70] (10,11) rectangle (11,12);   % Colora di blu scuro
    \fill[blue!70] (10,8) rectangle (11,9);   % Colora di blu scuro
    \fill[blue!70] (10,9) rectangle (11,10);   % Colora di blu scuro
     %altra
    \fill[blue!70] (8,10) rectangle (9,11);   % Colora di blu scuro
    \fill[blue!70] (8,9) rectangle (9,10);   % Colora di blu scuro
    \fill[blue!70] (8,6) rectangle (9,7);   % Colora di blu scuro
    \fill[blue!70] (8,7) rectangle (9,8);   % Colora di blu scuro
     %altra
    \fill[blue!70] (6,8) rectangle (7,9);   % Colora di blu scuro
    \fill[blue!70] (6,7) rectangle (7,8);   % Colora di blu scuro
    \fill[blue!70] (6,4) rectangle (7,5);   % Colora di blu scuro
    \fill[blue!70] (6,5) rectangle (7,6);   % Colora di blu scuro
     %altra
    \fill[blue!70] (4,6) rectangle (5,7);   % Colora di blu scuro
    \fill[blue!70] (4,5) rectangle (5,6);   % Colora di blu scuro
    \fill[blue!70] (4,2) rectangle (5,3);   % Colora di blu scuro
    \fill[blue!70] (4,3) rectangle (5,4);   % Colora di blu scuro
     %altra
    \fill[blue!70] (2,4) rectangle (3,5);  % Colora di blu scuro
    \fill[blue!70] (2,3) rectangle (3,4);   % Colora di blu scuro
    \fill[blue!70] (2,0) rectangle (3,1);   % Colora di blu scuro
    \fill[blue!70] (2,1) rectangle (3,2);   % Colora di blu scuro
    %altra
    \fill[blue!70] (0,2) rectangle (1,3);   % Colora di blu scuro
    \fill[blue!70] (0,1) rectangle (1,2);   % Colora di blu scuro

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ruotiamo di 90 gradi
     %altra
    \fill[red!30] (9,13) rectangle (10,14);  % Colora di rosso
    \fill[red!30] (9,14) rectangle (10,15);  % Colora di rosso
     %altra
    \fill[red!30] (7,11) rectangle (8,12);  % Colora di rosso
    \fill[red!30] (7,12) rectangle (8,13);  % Colora di rosso
    \fill[red!30] (7,14) rectangle (8,15);  % Colora di rosso
    \fill[red!30] (7,15) rectangle (8,16);  % Colora di rosso
    %altra
    \fill[red!30] (5,9) rectangle (6,10);  % Colora di rosso
    \fill[red!30] (5,10) rectangle (6,11);  % Colora di rosso
    \fill[red!30] (5,12) rectangle (6,13);  % Colora di rosso
    \fill[red!30] (5,13) rectangle (6,14);  % Colora di rosso
    %altra
    \fill[red!30] (3,7) rectangle (4,8); % Colora di rosso
    \fill[red!30] (3,8) rectangle (4,9);  % Colora di rosso
    \fill[red!30] (3,10) rectangle (4,11);  % Colora di rosso
    \fill[red!30] (3,11) rectangle (4,12); % Colora di rosso
    %altra
    \fill[red!30] (1,5) rectangle (2,6);  % Colora di rosso
    \fill[red!30] (1,6) rectangle (2,7);  % Colora di rosso
    \fill[red!30] (1,8) rectangle (2,9);  % Colora di rosso
    \fill[red!30] (1,9) rectangle (2,10);  % Colora di rosso
    %altra
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
     %altra
    \fill[red!70] (7,13) rectangle (8,14); % Colora di rosso scuro
    \fill[red!70] (8,13) rectangle (9,14);  % Colora di rosso scuro
    \fill[red!70] (10,13) rectangle (11,14);  % Colora di rosso scuro
    \fill[red!70] (11,13) rectangle (12,14);  % Colora di rosso scuro
      %altra
    \fill[red!70] (5,11) rectangle (6,12);  % Colora di rosso scuro
    \fill[red!70] (6,11) rectangle (7,12);  % Colora di rosso scuro
    \fill[red!70] (8,11) rectangle (9,12);  % Colora di rosso scuro
    \fill[red!70] (9,11) rectangle (10,12);  % Colora di rosso scuro
     %altra
    \fill[red!70] (3,9) rectangle (4,10); % Colora di rosso scuro
    \fill[red!70] (4,9) rectangle (5,10);  % Colora di rosso scuro
    \fill[red!70] (6,9) rectangle (7,10);  % Colora di rosso scuro
    \fill[red!70] (7,9) rectangle (8,10);  % Colora di rosso scuro
    %altra
    \fill[red!70] (1,7) rectangle (2,8);  % Colora di rosso scuro
    \fill[red!70] (2,7) rectangle (3,8);  % Colora di rosso scuro
    \fill[red!70] (4,7) rectangle (5,8);  % Colora di rosso scuro
    \fill[red!70] (5,7) rectangle (6,8);  % Colora di rosso scuro
    %altra
    \fill[red!70] (0,5) rectangle (1,6);  % Colora di rosso scuro
    \fill[red!70] (2,5) rectangle (3,6);  % Colora di rosso scuro
    \fill[red!70] (3,5) rectangle (4,6);  % Colora di rosso scuro
     %altra
    \fill[red!70] (0,3) rectangle (1,4); % Colora di rosso scuro
    \fill[red!70] (1,3) rectangle (2,4);  % Colora di rosso scuro

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% trasliamo di 8.
     %altra
    \fill[blue!30] (4,12) rectangle (5,13);  % Colora di blu
    \fill[blue!30] (3,12) rectangle (4,13);  % Colora di blu
    \fill[blue!30] (0,12) rectangle (1,13);  % Colora di blu
    \fill[blue!30] (1,12) rectangle (2,13);  % Colora di blu
    %altra
    \fill[blue!70] (2,12) rectangle (3,13);  % Colora di blu scuro
    \fill[blue!70] (2,11) rectangle (3,12);  % Colora di blu scuro
    \fill[blue!70] (2,8) rectangle (3,9);  % Colora di blu scuro
    \fill[blue!70] (2,9) rectangle (3,10); % Colora di blu scuro


    % Opzionale: aggiungi etichette agli assi
    \foreach \x in {0,1,...,16} {
        \node[anchor=north] at (\x,0) {\x};
        \node[anchor=east] at (0,\x) {\x};
    }
\end{tikzpicture}

\end{center}

\end{document}

[axpgn]

Non ho LaTeX, posta il tuo così vediamo ...

Il mio "schemino" non ha due T messi come hai descritto tu però non se esiste un'altra tassellatura ...

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Ecco, mi ero scordato