$Pi$, $e$

[Talete 14]

abbiamo $Pi^e$ e $e^Pi$, senza la calcolatrice: quale delle due potenze è la maggiore?

[G.D.5]

$e^pi$?

[blackbishop13]

"WiZaRd":$e^pi$?

Ok, ma come si fa a ricavarlo senza calcolare niente??

[EnderWiggins]

Io ho ragionato così:

ammettiamo che sia $\pi^e > e^\pi \Rightarrow e > log_\pi(e^\pi) \Rightarrow e > \pi*log_\pi(e)$ ma:
$log_\pi(e) > 1 \Rightarrow \pi*log_\pi(e) > \pi > e$

dunque:
$e^\pi > \pi^e$
Ditemi se ho sbagliato qualcosa..

[EnderWiggins]

Chiedo scusa, ho commesso un errore tremendo di cui mi sono accorto solo ora..

[blackbishop13]

Anch'io ho provato con i logaritmi, ma come hai visto non si ottiene una semplificazione..
Io per adesso non vedo un modo per arrivarci con sicurezza

Wizard, è stata un' intuizione o altro?

[strangolatoremancino]

EDIT...nulla...

ma si può fare ?

[Fioravante Patrone1]

"Talete 14":abbiamo $Pi^e$ e $e^Pi$, senza la calcolatrice: quale delle due potenze è la maggiore?

Questa affermazione non impone alcuna restrizione significativa sui calcoli che si possono fare.
Non c'è bisogno di nessuna calcolatrice per stabilire chi sia più grande dei due. Come cosa di infimo profilo basta fare "a mano" i primi passi di qualunque algoritmo che sia datto allo scopo.

[salvozungri]

E' un esercizio che ho già affrontato in passato, molto carino. Se volete spremervi le meningi NON leggete!
Dall'analisi che si fa alle superiori, sappiamo che $log(x)$ è una funzione crescente in $(0, +\infty)$, allora è sufficiente verificare quale tra $log(e^\pi)=\pi$ e $log(\pi^e)= elog(\pi)$ sia il più grande.
Consideriamo la funzione $f(x)= x-elog(x)$ e studiamone la derivata prima:
$f'(x)= 1-e/x$
Cia accorgiamo subito che la funzione $f'(x)$ si annulla per $x= e$, è negativa per $x\in (0, e)$, è positiva in $x\in (e, +\infty)$, abbiamo un minimo per la funzione $f$, il punto di minimo è:
$(e, f(e)=0)$. Poichè da $e$ in poi la funzione $x-e log(x)$ è crescente allora $f(\pi)>0=> \pi-elog(\pi)>0=>$
$\pi>elog(\pi)=> e^pi>\pi^e$.... CCCS (a questo punto è obbligatorio ringraziare Blaise Pascal, padre delle calcolatrici )

[G.D.5]

Il mio ragionamento era lo stesso di Mathematico.

[salvozungri]

Ciao Wizard, volevo chiederti se esiste una dimostrazione elementare, che non richieda quindi l'intervento delle derivate. Ci sto lavorando su, ma finora i miei approcci sono un completo fallimento .

[G.D.5]

Onestamente non ci ho proprio pensato.
Mi pare che però una volta ho letto una soluzione elementare, non ricordo se su questo foro o altrove... se ritrovo l'argomento incriminato posto il link... nel frattempo penso un po'... ma dubito di cavare qualche cosa di interessante

[Zkeggia]

forse e dico forse ci sono: Parto da, se $e^(pi)> (pi)^e$ allora applicando il logaritmo naturale ad ambo i membri giungo a questo.
$pi> elnpi$

ora applico illogaritmo in base pi greco ad entrambi i membri e ottengo
$1 > ln_(pi) (eln(pi)) -> 1> ln_(pi)e + ln_(pi)(lnpi)$
Ora dal momento che $ln_(pi)e <0$ e che $ln_(pi)(lnpi) < 1$ ho la tesi.
Quest'ultima dimostrazione è vera in quanto $e^2 > pi$ quindi posso dire che
$ln_(pi)(lnpi)
Che ne dite?

Edit: colossale svista $ln_(pi)e <0$ non è assolutamente vero, caso mai minore di uno, e quindi tutta la dimostrazione va a morire... uf