Pesi

[axpgn]

Siano dati alcuni pesi, ciascuno dei quali non è più pesante di un chilogrammo.
Si sa anche che non possono essere divisi in due gruppi in modo tale che il peso di ogni gruppo sia superiore ad un chilogrammo.

Qual è il massimo peso possibile di tutti questi pesi?



Cordialmente, Alex

[ghira1]

2 kg

[axpgn]

No.

[hydro1]

Forse non capisco bene la domanda, ma un gruppo può contenere tutti i pesi e l'altro nessuno?

[Studente Anonimo]

"hydro":Forse non capisco bene la domanda, ma un gruppo può contenere tutti i pesi e l'altro nessuno?

Effettivamente se questo è possibile allora

1 kg

[ghira1]

Con 1,1,1 soddisfiamo i requisiti quindi è almeno 3kg.

[Studente Anonimo]

"ghira":

Con 1,1,1 soddisfiamo i requisiti quindi è almeno 3kg.

Ma non è vero, se li divido in due gruppi, uno formato da due pesi e uno formato da 1 peso ottengo che il primo gruppo ha un peso di 2 chili. Cosa non possibile

[axpgn]

La frase

"axpgn":Si sa anche che non possono essere divisi in due gruppi in modo tale che il peso di ogni gruppo sia superiore ad un chilogrammo.

è equivalente a "È possibile dividere i pesi in due gruppi in modo tale che solo uno dei due possa pesare più di un chilogrammo".

Detto questo, l'ultima risposta di ghira è quasi giusta e va comunque dimostrata.


Cordialmente, Alex

[hydro1]

"axpgn":La frase [quote="axpgn"]Si sa anche che non possono essere divisi in due gruppi in modo tale che il peso di ogni gruppo sia superiore ad un chilogrammo.

è equivalente a "È possibile dividere i pesi in due gruppi in modo tale che solo uno dei due possa pesare più di un chilogrammo".

Detto questo, l'ultima risposta di ghira è quasi giusta e va comunque dimostrata.


Cordialmente, Alex[/quote]

Non mi sembra che sia la stessa cosa. Se ho $n$ pesi da 1 chilo, ovviamente posso dividerli in due gruppi tali che uno dei due pesa al più 1 chilo.

[ghira1]

"axpgn":Siano dati alcuni pesi, ciascuno dei quali non è più pesante di un chilogrammo.
Si sa anche che non possono essere divisi in due gruppi in modo tale che il peso di ogni gruppo sia superiore ad un chilogrammo.

Qual è il massimo peso possibile di tutti questi pesi?

In 1,1,1, nessun peso è maggiore di 1.

Può essere diviso come:
3,0
2,1

In nessuno di questi casi è vero che ogni gruppo pesa più di un chilo.

Quindi 1,1,1 va bene. Ma forse si può fare di meglio? Non vedo come.

[axpgn]

"hydro":Non mi sembra che sia la stessa cosa. Se ho $n$ pesi da 1 chilo, ovviamente posso dividerli in due gruppi tali che uno dei due pesa al più 1 chilo.

Certamente, difatti non è vietato dal testo del problema.

"Si sa anche che non possono essere divisi in due gruppi in modo tale che il peso di ogni gruppo sia superiore ad un chilogrammo."

"Si sa anche che NON possono essere divisi in due gruppi ($A$ e $B$) in modo tale che il peso di ogni gruppo (ovvero sia $A$ che $B$) sia superiore ad un chilogrammo."

$A$ e $B$ non possono contemporaneamente pesare più di un chilogrammo ma uno dei due sì.

@ghira

Quando dico "quasi" è perché hai scritto "almeno" che significherebbe che quello sarebbe il minimo (che peraltro non è) mentre noi cerchiamo il massimo.
E va dimostrato che $3$ chilogrammi è il massimo possibile ma non mi pare che la tua sia una dimostrazione di ciò; come puoi escludere che non vi siano altri casi possibili e di peso totale maggiore?

Cordialmente, Alex

[hydro1]

"axpgn":La frase [quote="axpgn"]Si sa anche che non possono essere divisi in due gruppi in modo tale che il peso di ogni gruppo sia superiore ad un chilogrammo.

è equivalente a "È possibile dividere i pesi in due gruppi in modo tale che solo uno dei due possa pesare più di un chilogrammo".
[/quote]

Ripeto, queste due condizioni non sono equivalenti. Un insieme di $n$ pesi da 1 chilo con $n>3$ rispetta la condizione "È possibile dividere i pesi in due gruppi in modo tale che solo uno dei due possa pesare più di un chilogrammo", basta mettere un peso in un gruppo e i restanti nell'altro. Però non rispetta la condizione " non possono essere divisi in due gruppi in modo tale che il peso di ogni gruppo sia superiore ad un chilogrammo.", perchè invece possono.

[ghira1]

Lo so che cerchiamo il massimo.
Il massimo è almeno 3 visto che 1,1,1 funziona.
Il massimo è maggiore di 3? Non lo so.

[axpgn]

@hydro
Sì, ho sbagliato a dire "equivalente" intendevo dire che ogni suddivisione dei pesi in due gruppi non può generare due gruppi che pesino entrambi più di un chilogrammo.
Infatti non avrei dovuto chiarire proprio niente

Cordialmente, Alex

[axpgn]

"ghira":

Il massimo è almeno 3 ...

Così va meglio

"ghira":

Il massimo è maggiore di 3? Non lo so.

Eh, allora manca ancora qualcosa ...



Cordialmente, Alex

[hydro1]

Proviamo per induzione che se ho 4 o più pesi il cui peso totale è più di 3 chili, allora posso dividerli in due gruppi che pesano entrambi più di 1 chilo. Questo conclude la soluzione, perchè ovviamente se si hanno meno di 4 pesi, il peso totale massimo è 3 chili.

Passo base: ho $a\geq b \geq c\geq d$ numeri reali positivi $\leq 1$ e tali che $a+b+c+d>3$. Se $c+d\leq 1$,
allora $a+b>2$ e quindi almeno uno tra $a$ e $b$ è $>1$, assurdo. Allora $c+d>1$, e quindi $a+b>1$.

Suppongo sia vero per $n$ pesi con $n\geq 4$. Siano $x_1\geq x_2\geq \ldots \geq x_{n+1}$ come sopra, e guardiamo $x_n+x_{n+1}$. Se questa è $>1$, allora $x_1+\ldots+x_{n-1}>1$, e ho finito. Se $x_n+x_{n+1}\leq 1$, posso incollarli tra di loro: ora ho $n$ pesi che soddisfano di nuovo le ipotesi, e ho finito per ipotesi induttiva.

[axpgn]

Una soluzione pratica ...

Prendo una bilancia e inizio a caricarvi i pesi uno alla volta; ci sono due possibilità: o il peso totale di tutti i pezzi non supera il chilogrammo oppure ad un certo punto un peso fa "traboccare il vaso".
Se così fosse avremmo al massimo un chilogrammo sulla bilancia, al massimo un chilogrammo per il peso che fa "traboccare" ed al massimo un chilogrammo per i restanti (per ipotesi).
In totale, al massimo $3$ chilogrammi.

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

Variazione sul tema
Si sa anche che possono essere divisi in due gruppi in modo tale che il peso di ogni gruppo sia inferiore ad un chilogrammo.
Dire quanti e quali pesi sono presenti nel set completo e perchè

[axpgn]

Così, sui due piedi, direi ...

O due pesi da un chilogrammo scarso o tre pesi da mezzo chilo scarso o quattro pesi da un terzo di chilo e cosi via, verso pesi infiniti dal peso infinitesimale di ciascuno con il totale che decresce avvicinandosi sempre più al chilo.

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

@Alex
Hint

Non ho detto che esista un'unica combo. Il resto è guidato dal buon senso quotidiano

[axpgn]

Non capisco cosa intendi ...

Ovviamente potrei avere tre pezzi di peso diverso come sei etti + due da quattro ma il peso totale sarebbe minore ... ma non penso ti riferissi a questo ...

Cordialmente, Alex