Pelapatate

[axpgn]

Alice e Bob sono di corvè in cucina a pelar patate, al ritmo di una patata pelata al minuto.
Inizialmente hanno lo stesso numero di patate da pelare ma Alice ogni due patate pelate ne prende una non pelata dal suo mucchio e la getta in quello di Bob.
Ad un certo momento, Bob ha il doppio di patate da pelare rispetto a quelle di Alice.
Cinque minuti più tardi, il rapporto è aumentato a $7$ contro $3$.
Quando diventerà tre a uno (e quante erano inizialmente le patate da pelare)?

(Assumiamo che il completamento della pelatura della patata da parte di Alice e il suo gettare la patata da pelare nella pila di Bob occorrano simultaneamente alla fine di ogni secondo minuto).


Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Avevano 100 patate a testa.
Dopo 40 minuti Bob ha il doppio delle patate da pelare rispetto ad Alice (80-40).
Dopo 5 minuti il rapporto è di 7 a 3 (77-33).
Dopo altri 5 minuti il rapporto è di 3 a 1 (25-75).
W la patata!

[axpgn]

Giusto ... a metà

[Quinzio]

All'inizio avevano 125 patate a testa.
Diventa 3:1 dopo 63 minuti (93:31).

$A$: Alice, $B$: Bob

Al minuto $T_1$:
$B_1 = 2A_1$

Al minuto $T_2 = T1+5$:
$3B_2 = 7A_2$

Se $T1$ e' pari, Alice fa in tempo a tirare 3 patate, altrimenti ne tira solo 2.
Quindi in 5 minuti, la differenza tra i mucchi e':

$B_2-B_1 = 2+E-5$
$A_2-A_1 = -(2+E)-5$

Va risolto il sistemino in 4 incognite
${ ( B_1 = 2A_1 ),( 3B_2 = 7A_2),( B_2-B_1 = 2+E-5 ),( A_2-A_1 = -(2+E)-5 ):}$

$E$ assume valore $0$ o $1$ in modo che le soluzioni siano intere.
Si trova
$A_1 = 50, B_1 = 100$
$A_2 = 42, B_2 = 98$

Al $T1$ la differenza tra i mucchi era di 50 patate, e siccome la differenza aumenta "in media" di una patata al minuto,
$T1 = 50$. Il mucchio di Bob cala "in media" mezza patata al minuto, quello di Alice di 3 e mezzo, quindi era partito da 125 patate, come per Alice.

Si arriva a 3:1 quando

$(125 - 1/2 T)/(125 - 3/2 T) = 3$
oppure dal minuto 1
$(124 - 1/2 T)/(124 - 3/2 T) = 3$
Si sceglie quella che da una soluzione intera.

[Quinzio]

"axpgn":Giusto ... a metà

Giu ?

[Drazen77]

Due soluzioni valide:

1)
Avevano 100 patate a testa:
Dopo 40 minuti Bob ha il doppio delle patate da pelare rispetto ad Alice (80-40).
Dopo altri 5 minuti il rapporto è di 7 a 3 (77-33).
Dopo ulteriori 5 minuti il rapporto è di 3 a 1 (75-25).

2)
Avevano 101 patate a testa:
Dopo 41 minuti Bob ha il doppio delle patate da pelare rispetto ad Alice (80-40).
Dopo altri 5 minuti il rapporto è di 7 a 3 (77-33).
Dopo ulteriori 5 minuti il rapporto è di 3 a 1 (75-25).

W la patata!

[axpgn]

@Drazen77
Giusto a metà, te l'ho già detto
Uno sì e uno no.
Come hai proceduto?


@Quinzio
No.

[Quinzio]

Era sbagliato adesso e' giu/sto.

t = 0
b = 100
a = 100

Bob ha il doppio di patate
t = 40
a = 40
b = 80

Bob/Alice = 7/3
t = 45
a = 33
b = 77

Bob/Alice = 3
t = 50
a = 25
b = 75

[Quinzio]

"axpgn":@Drazen77
Giusto a metà, te l'ho già detto
Uno sì e uno no.
Come hai proceduto?

B/A e' il rapporto patate Bob diviso Alice.
Alice getta la patata nei minuti pari (2,4,6,...)
Se B/A = 2 al tempo t=41,
i 5 minuti successivi sono 42, 43, 44, 45, 46.
Alice avra' gettato 3 patate e ne ha pelate 5, quindi il suo mucchio e' calato di 8.

Ma 40 - 8 non fa 33.
La soluzione 2 non va bene.

[axpgn]

Ok, metà del problema l'avete risolto

Però non avete ancora risolto l'altra metà ...

[Quinzio]

"axpgn":Ok, metà del problema l'avete risolto

Però non avete ancora risolto l'altra metà ...

Che sarebbe ?

[axpgn]

Non te lo dovrei dire io

Le ipotesi del problema permettono DUE situazioni possibili non una sola perciò le possibili risposte alla domanda sono DUE.

[Quinzio]

"axpgn":Non te lo dovrei dire io

Le ipotesi del problema permettono DUE situazioni possibili non una sola perciò le possibili risposte alla domanda sono DUE.

No.
L'altra soluzione era quella che avevo gia' dato, ma non va bene perche' Alice getta 3 patate da quando i rapporti sono 2:1 a 7:3, ma siccome questo accade ai minuti 51 52 53 54 55 a Lice getta nei minuti pari, non e' possibile.

Queste sono le soluzioni del sistema nei due casi che Alice getta 2 o 3 patate.

A = [
2 0 -1 0;
0 7 0 -3;
0 0 1 -1;
1 -1 0 0
]

b = [0; 0; 3; 7]

A\b

b = [0; 0; 2; 8]

A\b

A1   40
A2   33
B1   80
B2   77


A1   50
A2   42
B1  100
B2   98

[axpgn]

Rileggi quello che ho scritto, non parlo di "soluzioni"

[Drazen77]

Le ipotesi del problema permettono DUE situazioni possibili non una sola perciò le possibili risposte alla domanda sono DUE.

Non capisco cosa tu intenda.
Comunque a me viene anche con 101 patate iniziali...

[Quinzio]

"Drazen77":

Le ipotesi del problema permettono DUE situazioni possibili non una sola perciò le possibili risposte alla domanda sono DUE.

Non capisco cosa tu intenda.
Comunque a me viene anche con 101 patate iniziali...

Come fa a venirvi anche con 101 patate iniziali ?
Questa e' la sequenza completa dei minuti. Vedi che manca il rapporto 3:7

t = 0
b = 101
a = 101

t = 1
a = 100
b = 100

t = 2
a = 98
b = 100

t = 3
a = 97
b = 99

t = 4
a = 95
b = 99

t = 5
a = 94
b = 98

t = 6
a = 92
b = 98

t = 7
a = 91
b = 97

t = 8
a = 89
b = 97

t = 9
a = 88
b = 96

t = 10
a = 86
b = 96

t = 11
a = 85
b = 95

t = 12
a = 83
b = 95

t = 13
a = 82
b = 94

t = 14
a = 80
b = 94

t = 15
a = 79
b = 93

t = 16
a = 77
b = 93

t = 17
a = 76
b = 92

t = 18
a = 74
b = 92

t = 19
a = 73
b = 91

t = 20
a = 71
b = 91

t = 21
a = 70
b = 90

t = 22
a = 68
b = 90

t = 23
a = 67
b = 89

t = 24
a = 65
b = 89

t = 25
a = 64
b = 88

t = 26
a = 62
b = 88

t = 27
a = 61
b = 87

t = 28
a = 59
b = 87

t = 29
a = 58
b = 86

t = 30
a = 56
b = 86

t = 31
a = 55
b = 85

t = 32
a = 53
b = 85

t = 33
a = 52
b = 84

t = 34
a = 50
b = 84

t = 35
a = 49
b = 83

t = 36
a = 47
b = 83

t = 37
a = 46
b = 82

t = 38
a = 44
b = 82

t = 39
a = 43
b = 81

t = 40
a = 41
b = 81

t = 41
a = 40
b = 80
Bob ha il doppio di patate

t = 42
a = 38
b = 80

t = 43
a = 37
b = 79

t = 44
a = 35
b = 79

t = 45
a = 34
b = 78

t = 46
a = 32
b = 78

t = 47
a = 31
b = 77

t = 48
a = 29
b = 77

t = 49
a = 28
b = 76

t = 50
a = 26
b = 76

t = 51
a = 25
b = 75
Bob/Alice = 3

t = 52
a = 23
b = 75

t = 53
a = 22
b = 74

t = 54
a = 20
b = 74

t = 55
a = 19
b = 73

t = 56
a = 17
b = 73

t = 57
a = 16
b = 72

t = 58
a = 14
b = 72

t = 59
a = 13
b = 71

t = 60
a = 11
b = 71

t = 61
a = 10
b = 70

t = 62
a = 8
b = 70

t = 63
a = 7
b = 69

t = 64
a = 5
b = 69

t = 65
a = 4
b = 68

t = 66
a = 2
b = 68

t = 67
a = 1
b = 67

t = 68
a = -1
b = 67

[Quinzio]

"axpgn":Rileggi quello che ho scritto, non parlo di "soluzioni"

Boh... torniamo a fare gli indovinelli.
l'altra situazione e' che Alice getta nei minuti dispari.
E' questa ?

[axpgn]

Sinceramente non ci trovo niente di strano o complicato nel testo, casomai trovo strano che debba esplicitare tutto in dettaglio, quando fai una gara o un esame non ti spiegano tutto.

Comunque ...

Le condizioni che all'istante $t$ il rapporto $B/A$ sia $2:1$ e che dopo cinque minuti dopo $t$ tale rapporto sia diventato $7:3$ si possono raggiungere in due modi diversi.
Quindi la domanda "Quando sarà raggiunto il rapporto $3:1$?" può avere due risposte.

Più chiaro di così ...

[axpgn]

$101$ è sbagliato, l'ho già detto.