Partizione di un triangolo
Si consideri un punto interno al generico triangolo
e per esso si traccino le parallele ai lati del triangolo medesimo.
In tal modo quest'ultimo viene suddiviso in piu' parti di cui 3 sono triangoli.
Dette $ T,T_1,T_2,T_3$ rispettivamente le aree del triangolo
iniziale e dei 3 triangoli di cui prima ,dimostrare che si ha:
$T=(sqrt(T_1)+sqrt(T_2)+sqrt(T_3))^2$
karl
e per esso si traccino le parallele ai lati del triangolo medesimo.
In tal modo quest'ultimo viene suddiviso in piu' parti di cui 3 sono triangoli.
Dette $ T,T_1,T_2,T_3$ rispettivamente le aree del triangolo
iniziale e dei 3 triangoli di cui prima ,dimostrare che si ha:
$T=(sqrt(T_1)+sqrt(T_2)+sqrt(T_3))^2$
karl
Risposte
Sia A,B,C il triangolo con AB la base e P il punto interno.
La retta parallela a BC incontra in D ed E i lati AB e AC rispettivamente. La parallela ad AC passante per P interseca in F AB e in G BC. L'ultima parallela interseca in H AC e in I BC.
Sia T1 l'area di HPE e T2 l'area di FDP.
Chiamo HP = x
FD = y
PH = h con h proiezione di P su FD.
Dalla similitudine dei triangoli di area T1 e T2 segue
$x =ysqrt(T_1/T_2)$.
Inoltre $y*h=2T_2$.
L'area del parallelogramma AFPH è allora data da
$A=FD*h=x*h=ysqrt(T_1/T_2)*h=2sqrt(T_1*T_2)$.
Un discorsco analogo vale per gli altri parallelogrammi, da cui segue la tesi.
La retta parallela a BC incontra in D ed E i lati AB e AC rispettivamente. La parallela ad AC passante per P interseca in F AB e in G BC. L'ultima parallela interseca in H AC e in I BC.
Sia T1 l'area di HPE e T2 l'area di FDP.
Chiamo HP = x
FD = y
PH = h con h proiezione di P su FD.
Dalla similitudine dei triangoli di area T1 e T2 segue
$x =ysqrt(T_1/T_2)$.
Inoltre $y*h=2T_2$.
L'area del parallelogramma AFPH è allora data da
$A=FD*h=x*h=ysqrt(T_1/T_2)*h=2sqrt(T_1*T_2)$.
Un discorsco analogo vale per gli altri parallelogrammi, da cui segue la tesi.
Ok,Pieragalli.
La mia soluzione differisce per qualche trascurabile dettaglio.
L'esercizio,benche' non eccelso,mi e' parso carino.
karl
La mia soluzione differisce per qualche trascurabile dettaglio.
L'esercizio,benche' non eccelso,mi e' parso carino.
karl
I tre triangolini sono simili al triangolino grosso.
L'area di uno qualunque di questi triangoli è proporzionale al quadrato del lato, ovvero la radice quadrata dell'area è proporzionale alla misura del lato.
Chiamo a,b,c e A i lati corrispondenti sui 4 triangolini. Vale $a+b+c=A$, ovvero, semplificando il fattore moltiplicativo,
$sqrt(T_1)+sqrt(T_2)+sqrt(T_3)=sqrt(T)$.
Provavo a generalizzarlo ad $n$ dimensioni ma non ci sono riuscito. Però rilancio lo stesso con un esercizio 3D:
prendiamo un tetraedro (anche non regolare) ed un punto interno. Tracciamo i piani paralleli alle facce del tetraedro passanti per quel punto.
- in quante figure solide risulta scomposto il tetraedro?
- quante di queste sono simili al tetraedro iniziale?
buona fortuna...
L'area di uno qualunque di questi triangoli è proporzionale al quadrato del lato, ovvero la radice quadrata dell'area è proporzionale alla misura del lato.
Chiamo a,b,c e A i lati corrispondenti sui 4 triangolini. Vale $a+b+c=A$, ovvero, semplificando il fattore moltiplicativo,
$sqrt(T_1)+sqrt(T_2)+sqrt(T_3)=sqrt(T)$.
Provavo a generalizzarlo ad $n$ dimensioni ma non ci sono riuscito. Però rilancio lo stesso con un esercizio 3D:
prendiamo un tetraedro (anche non regolare) ed un punto interno. Tracciamo i piani paralleli alle facce del tetraedro passanti per quel punto.
- in quante figure solide risulta scomposto il tetraedro?
- quante di queste sono simili al tetraedro iniziale?
buona fortuna...
Visto che questo problema è uscito recentemente sulla rivista Archimede, ti posso chiedere karl dove l'hai trovato?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo