Paradosso di Zeno ... moderno
Salve a tutti,
vorrei lanciare una sfida: ricordate il vecchio paradosso di Zeno dove Achille non riusciva a raggiungere la tartaruga?
Aggiungiamo un dettaglio: ogni passo di Achille (serie 1/2, 1/4, 1/8,.. 1/n) ha un'incertezza piccola a piacere e costante, diciamo 1mm.
Quando Achille raggiungerà la tartaruga?
C'è un percorso della rincorsa migliore di altri per minimizzare l'incertezza globale?
Io una soluzione ce l'avrei e credo sia abbastanza profonda.
Pier Paolo
vorrei lanciare una sfida: ricordate il vecchio paradosso di Zeno dove Achille non riusciva a raggiungere la tartaruga?
Aggiungiamo un dettaglio: ogni passo di Achille (serie 1/2, 1/4, 1/8,.. 1/n) ha un'incertezza piccola a piacere e costante, diciamo 1mm.
Quando Achille raggiungerà la tartaruga?
C'è un percorso della rincorsa migliore di altri per minimizzare l'incertezza globale?
Io una soluzione ce l'avrei e credo sia abbastanza profonda.
Pier Paolo
Risposte
Temo di non aver capito il quiz.
Mi sembra una faccenda probabilistica dipendente dalla distribuzione statistica delle "incertezze".
Puoi chiarire cosa intendi per "percorso migliore" ed "incertezza globale" ?
Inoltre, se l'incertezza è data in valore assoluto mi aspetto che la distanza iniziale sia data in valore assoluto oppure che sia dato il rapporto tra incertezza e distanza.
Un esempio: con distanza iniziale 2048 e incertezza 1 la distanza dopo 8 passi sarà 8$pm$8 ossia variabile tra 0 e 16, e la distanza dopo 11 passi sarà 1$pm$11 ossia variabile tra -10 e 12. Quindi per raggiungere la tartaruga Achille deve fare almeno 8 passi (8 è la soluzione di $x 2^x>=2048$ dove 2048=distanza/incertezza) ma non c'è mai la certezza di raggiungerla in un numero finito di passi. E cosa succede al passo 12 quando l'incertezza supera la misura del passo che vale 1/2: Achille può retrocedere ?
Mi sembra una faccenda probabilistica dipendente dalla distribuzione statistica delle "incertezze".
Puoi chiarire cosa intendi per "percorso migliore" ed "incertezza globale" ?
Inoltre, se l'incertezza è data in valore assoluto mi aspetto che la distanza iniziale sia data in valore assoluto oppure che sia dato il rapporto tra incertezza e distanza.
Un esempio: con distanza iniziale 2048 e incertezza 1 la distanza dopo 8 passi sarà 8$pm$8 ossia variabile tra 0 e 16, e la distanza dopo 11 passi sarà 1$pm$11 ossia variabile tra -10 e 12. Quindi per raggiungere la tartaruga Achille deve fare almeno 8 passi (8 è la soluzione di $x 2^x>=2048$ dove 2048=distanza/incertezza) ma non c'è mai la certezza di raggiungerla in un numero finito di passi. E cosa succede al passo 12 quando l'incertezza supera la misura del passo che vale 1/2: Achille può retrocedere ?
Bene,
essendo $Do$ la distanza iniziale tra Achille e la tartaruga, $n$ la ennesima iterazione e $D$ la distanza dopo l'ennesima iterazione; avremo:
$D=(Do)/(2^n)$
quindi secondo il racconto classico la distanza si riduce della metà a ogni iterazione.
La novità è introdurre l'incertezza della posizione di Achille a ogni iterazione che chiamiamo $u$ (uncertainty).
L'incertezza della posizione di Achille dopo l'ennesima iterazione sarà $u*sqrt (n) $, d'accordo?(teoria della propagazione degli errori)...
Il problema è che dopo una certa iterazione la distanza tra Achille e la tartaruga sarà maggiore dell'incertezza della sua posizione per cui sarà praticamente indistinguibile ... e immerso nella nebbia dell'incertezza ...
L'iterazione per cui vale questa condizione sarà:
$(Do)/(2^n) = u*sqrt(n)$ ovvero $Do = u*2^n sqrt(n)$ che non è lineare.
Se per esempio Achille rincorre (partendo dalla terra) la tartaruga che si trova quasi sulla luna, avremo:
$Do=384,000,000,000 mm$ mentre per esempio $u=1 mm$ avremo $n=36$ e $D=5,6 mm$
Quindi Zenone di Elea aveva ragione perché non c'è un momento assolutamente preciso in cui Achille raggiunge la tartaruga... almeno in via provocatoria...
Però c'è un percorso della rincorsa che permetterebbe ad Achille di raggiungere la tartaruga con un'incertezza uguale a quella iniziale o addirittura se si cambia la superficie del percorso potrebbe anche essere inferiore a quella iniziale... come?
essendo $Do$ la distanza iniziale tra Achille e la tartaruga, $n$ la ennesima iterazione e $D$ la distanza dopo l'ennesima iterazione; avremo:
$D=(Do)/(2^n)$
quindi secondo il racconto classico la distanza si riduce della metà a ogni iterazione.
La novità è introdurre l'incertezza della posizione di Achille a ogni iterazione che chiamiamo $u$ (uncertainty).
L'incertezza della posizione di Achille dopo l'ennesima iterazione sarà $u*sqrt (n) $, d'accordo?(teoria della propagazione degli errori)...
Il problema è che dopo una certa iterazione la distanza tra Achille e la tartaruga sarà maggiore dell'incertezza della sua posizione per cui sarà praticamente indistinguibile ... e immerso nella nebbia dell'incertezza ...
L'iterazione per cui vale questa condizione sarà:
$(Do)/(2^n) = u*sqrt(n)$ ovvero $Do = u*2^n sqrt(n)$ che non è lineare.
Se per esempio Achille rincorre (partendo dalla terra) la tartaruga che si trova quasi sulla luna, avremo:
$Do=384,000,000,000 mm$ mentre per esempio $u=1 mm$ avremo $n=36$ e $D=5,6 mm$
Quindi Zenone di Elea aveva ragione perché non c'è un momento assolutamente preciso in cui Achille raggiunge la tartaruga... almeno in via provocatoria...
Però c'è un percorso della rincorsa che permetterebbe ad Achille di raggiungere la tartaruga con un'incertezza uguale a quella iniziale o addirittura se si cambia la superficie del percorso potrebbe anche essere inferiore a quella iniziale... come?
Continuo a non capire il senso del problema. I paradossi di Zenone vertono sull'interpretazione filosofica di infiniti e infinitesimi negli enti matematici e geometrici. Introducendo una incertezza nella posizione di Achille, e quindi anche della tartaruga che presumo si muova anche lei, sconfiniamo nella fisica sperimentale quindi Achille raggiunge la tartaruga quando la distanza residua uguaglia l'incertezza che cresce passo dopo passo in modo statistico-probabilistico: misure inferiori all'incertezza non hanno alcun senso.
Per ridurre l'incertezza finale bisogna ridurre il numero delle iterazioni che, se la distanza iniziale è prefissata, si può fare solo concedendo ad Achille di accorciare il percorso rispetto alla tartaruga che dovrebbe fare un percorso curvo mentre Achille imbroglia tagliandolo con tratti rettilinei.
Credo che il massimo vantaggio per Achille si ottenga se la tartaruga percorre una spirale logaritmica verso il centro, e ancor più se la spirale sta nel cavo di una superficie imbutiforme, quale un cono o un iperboloide, e il centro della spirale coincide con il vertice dell'imbuto. Ma la distanza deve essere calcolata secondo la metrica dello spazio tridimensionale euclideo, non come lunghezza di un segmento di geodetica.
Per ridurre l'incertezza finale bisogna ridurre il numero delle iterazioni che, se la distanza iniziale è prefissata, si può fare solo concedendo ad Achille di accorciare il percorso rispetto alla tartaruga che dovrebbe fare un percorso curvo mentre Achille imbroglia tagliandolo con tratti rettilinei.
Credo che il massimo vantaggio per Achille si ottenga se la tartaruga percorre una spirale logaritmica verso il centro, e ancor più se la spirale sta nel cavo di una superficie imbutiforme, quale un cono o un iperboloide, e il centro della spirale coincide con il vertice dell'imbuto. Ma la distanza deve essere calcolata secondo la metrica dello spazio tridimensionale euclideo, non come lunghezza di un segmento di geodetica.
In questo primo scenario a ogni iterazione Achille dimezza la distanza tra lui e la tartaruga su di un percorso rettilineo, diciamo che la tartaruga sta davanti e Achille dietro.
Abbiamo visto che se ogni iterazione è una misura della distanza a partire dalle misure precedenti l'incertezza aumenta e in generale diventa $sqrt n$.
Se la rincorsa avviene sui due assi coordinati, diciamo che Achille corre lungo la X e la tartaruga lungo la Y, il calcolo delle loro distanze lascia invariata l'incertezza: Achille 'calibrando' la sua rincorsa potrà raggiungere la tartaruga nell'origine degli assi con l'incertezza invariata. Questo succede perché il calcolo della norma euclidea non aumenta l'incertezza.
Questo semplice esempio vuole rimarcare quanto l'incertezza sia contro intuitiva per la nostra mente e quando introduciamo nei calcoli questa variabile otteniamo risultati contro intuitivi.
Un esempio? Prendi un segmento A con incertezza u, sommalo a se stesso e poi togli al risultato il segmento A, ottieni:
A+A-A=A ma l'incertezza sarà $sqrt 3$ volte u e otteniamo così una quantità diversa da quella iniziale.
E così via, trovi altre stranezze del mondo dell'incertezza negli appunti di fisica che ho lasciato su questo sito, tra cui anche la risposta all'ultimo quesito cioè una superficie che annulla l'incertezza.
Ciao,
Pier Paolo
Abbiamo visto che se ogni iterazione è una misura della distanza a partire dalle misure precedenti l'incertezza aumenta e in generale diventa $sqrt n$.
Se la rincorsa avviene sui due assi coordinati, diciamo che Achille corre lungo la X e la tartaruga lungo la Y, il calcolo delle loro distanze lascia invariata l'incertezza: Achille 'calibrando' la sua rincorsa potrà raggiungere la tartaruga nell'origine degli assi con l'incertezza invariata. Questo succede perché il calcolo della norma euclidea non aumenta l'incertezza.
Questo semplice esempio vuole rimarcare quanto l'incertezza sia contro intuitiva per la nostra mente e quando introduciamo nei calcoli questa variabile otteniamo risultati contro intuitivi.
Un esempio? Prendi un segmento A con incertezza u, sommalo a se stesso e poi togli al risultato il segmento A, ottieni:
A+A-A=A ma l'incertezza sarà $sqrt 3$ volte u e otteniamo così una quantità diversa da quella iniziale.
E così via, trovi altre stranezze del mondo dell'incertezza negli appunti di fisica che ho lasciato su questo sito, tra cui anche la risposta all'ultimo quesito cioè una superficie che annulla l'incertezza.
Ciao,
Pier Paolo
Non mi hai convinto: sul piano, anche con due traiettorie perpendicolari, le posizioni dei due concorrenti e di conseguenza la loro distanza hanno una incertezza che cresce comunque passo dopo passo se mantieni il presupposto della serie dicotomica.
Inoltre in un ambiente bi-dimensionale anche l'incertezza è bi-dimensionale e quindi Achille potrebbe incrociare la traiettoria della tartaruga prima o dopo il punto previsto, fallendo così l'obiettivo, considerato che anche il momento dell'impatto ha una incertezza.
Inoltre in un ambiente bi-dimensionale anche l'incertezza è bi-dimensionale e quindi Achille potrebbe incrociare la traiettoria della tartaruga prima o dopo il punto previsto, fallendo così l'obiettivo, considerato che anche il momento dell'impatto ha una incertezza.
Certo ma il movimento perpendicolare permette di lasciare invariata l'incertezza.
"cppm":
Un esempio? Prendi un segmento A con incertezza u, sommalo a se stesso e poi togli al risultato il segmento A, ottieni:
A+A-A=A ma l'incertezza sarà $sqrt 3$ volte u e otteniamo così una quantità diversa da quella iniziale.
Innanzitutto non è un segmento A ad avere incertezza u, ma la misura della lunghezza del segmento A ad avere incertezza u. Sommi 3 misure ed ottieni una nuova misura differente (perchè diversa l'incertezza): non mi sembra niente di strano o controintuitivo.
Senza considerare che la formula che stai usando per la propagazione degli errori è valida solo se si assumono le misure con relative incertezze indipendenti, cosa che non è certo vera se consideri tre volte la stessa misura..
Infatti non considero tre volte la stessa misura.
Capisco che ti è difficile cogliere la differenza tra variabili randomizzate e variabili simboliche
Capisco che ti è difficile cogliere la differenza tra variabili randomizzate e variabili simboliche
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