Palline in scatola

[axpgn]

Mi sono imbattuto in un problema carino, che ho risolto, ma mi pare che contenga un'incongruenza nel testo.
Che ne pensate?

We have four identical boxes. One of the boxes contains three black balls (BBB), another box has two black and one white balls (BBW), the third box has one black and two white balls (BWW), and the last box has three white balls (WWW). Four labels, BBB, BBW, BWW, and WWW, are put on the boxes, one per box. As is often the case in such puzzles, none of the labels match the contents, and this fact is common knowledge. Four sages get one box each. Each sage sees his label but doesn’t know the other’s labels. Without looking in the box, each sage is asked to take out two balls and guess the color of the third ball. All the sages are in the same room and can hear each other and see the colors of the balls that are taken out.

The first sage takes out two black balls and says, “I know the color of the third ball.”
The second sage takes out one black and one white ball and says, “I know the color of the third ball.”
The third sage takes out two white balls and says, “I don’t know the color of the third ball.”
The fourth sage says, without taking out any balls, “I know the color of all the balls in my box and also the content of all the other boxes.”
Can you figure out what’s in the boxes?


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Direi che la soluzione e' questa:

Saggi:....... 1.BBB 2.BBW 3.WWW 4.BWW 0 1 3 2
Etichette:.. 1.BBW 2.BWW 3.BBB 4.WWW 1 2 0 3

Qui sotto c'e' il codice per il solver se qualcuno fosse interessato.

; Variable declarations
(declare-fun a0 () Int)
(declare-fun a1 () Int)
(declare-fun a2 () Int)
(declare-fun a3 () Int)
(declare-fun b0 () Int)
(declare-fun b1 () Int)
(declare-fun b2 () Int)
(declare-fun b3 () Int)

; Constraints
(assert (>= a0 0))
(assert (>= a1 0))
(assert (>= a2 0))
(assert (>= a3 0))
(assert (>= b0 0))
(assert (>= b1 0))
(assert (>= b2 0))
(assert (>= b3 0))
(assert (<= a0 3))
(assert (<= a1 3))
(assert (<= a2 3))
(assert (<= a3 3))
(assert (<= b0 3))
(assert (<= b1 3))
(assert (<= b2 3))
(assert (<= b3 3))

(assert (not(= a0 a1)))
(assert (not(= a0 a2)))
(assert (not(= a0 a3)))
(assert (not(= a1 a2)))
(assert (not(= a1 a3)))
(assert (not(= a2 a3)))
(assert (not(= b0 b1)))
(assert (not(= b0 b2)))
(assert (not(= b0 b3)))
(assert (not(= b1 b2)))
(assert (not(= b1 b3)))
(assert (not(= b2 b3)))

(assert (not(= a0 b0)))
(assert (not(= a1 b1)))
(assert (not(= a2 b2)))
(assert (not(= a3 b3)))

(assert (or(= a0 0) (= a0 1)))
(assert (or(= a1 1) (= a1 2)))
(assert (or(= a2 2) (= a2 3)))

(assert (or(= b0 0) (= b0 1)))
(assert (or(= b1 1) (= b1 2)))
(assert (or(= b2 0) (= b2 1)))

; Solve
(check-sat)
(get-model)

[axpgn]

Ma no, il codice no, dai!
Il ragionamento, il ragionamento che uno dovrebbe fare qual è? Manca ...

Comunque, hai trovato l'incongruenza nel testo?

[Drazen77]

Il primo saggio ha la scatola con etichetta Nero-Nero-Bianco, vede due palline nere e capisce che anche la terza è nera.

Il secondo saggio ha la scatola con etichetta Nero-Bianco-Bianco, vede una pallina nera e una bianca e capisce che la terza è nera.

Il terzo saggio ha la scatola con etichetta Nero-Nero-Nero, vede due palline bianche, ma non può determinare il colore della terza pallina.

Il quarto saggio ha la scatola con etichetta Bianco-Bianco-Bianco.
Ha capito che il primo ha Nero-Nero-Nero, che il secondo ha Nero-Nero-Bianco e quindi l'unica combinazione che può avere è Nero-Bianco-Bianco.

A questo punto per esclusione capiamo che il terzo ha Bianco-Bianco-Bianco.

[axpgn]

@Drazen77

E se il primo saggio ha l'etichetta $BBB$ ? Mi sembra che hai tralasciato un po' di casi ...

Lo stesso vale anche per @Quinzio ...

[Drazen77]

"axpgn":@Drazen77
E se il primo saggio ha l'etichetta $BBB$ ? Mi sembra che hai tralasciato un po' di casi ...

Non è che li abbia tralasciati, li ho eliminati:
Se il primo avesse avuto l'etichetta $BBB$ avrebbe avuto palline $BBW$, il secondo avrebbe avuto palline $BWW$ e il terzo avrebbe saputo rispondere sapendo di avere palline $WWW$

[axpgn]

Se spieghi per bene tutti i passaggi, potremmo vedere se hai visto giusto oppure NO ...

[Drazen77]

Il primo può avere l'etichetta $WWW$, $BWW$, $BBB$, o $BBW$.
Primo caso: può avere l'etichetta $WWW$? No, perché dopo aver pescato due nere non avrebbe saputo indovinare la terza.
Secondo caso: può avere l'etichetta $BWW$? No, perché dopo aver pescato due nere non avrebbe saputo indovinare la terza.
Terzo caso: può avere l'etichetta $BBB$? No, perché in questo caso saprebbe di avere in mano $BBW$, però...
Caso 3a: Il primo ha l'etichetta $BBB$ e il secondo $WWW$
Caso 3b: Il primo ha l'etichetta $BBB$ e il secondo $BBW$
Caso 3c: Il primo ha l'etichetta $BBB$ e il secondo $BWW$

Caso 3a: Il secondo non può avere l'etichetta $WWW$, perché dopo aver pescato una nera e una bianca non avrebbe saputo indovinare la terza.
Caso 3b: Il secondo può avere l'etichetta $BBW$ e dopo aver pescato una nera e una bianca capirebbe di avere in mano $BWW$.
In questo caso il terzo potrebbe avere l'etichetta $BWW$ e saprebbe di avere in mano $WWW$, ma questo non può essere, perché ha detto di non conoscere il colore della terza pallina.
Allora il terzo potrebbe avere l'etichetta $WWW$ e saprebbe di avere in mano $WWB$, ma questo non può essere, perché ha detto di non conoscere il colore della terza pallina.
Caso 3c: Il secondo potrebbe avere l'etichetta $BWW$ e penserebbe di avere in mano $BBW$ (come il primo).
In questo caso il terzo potrebbe avere l'etichetta $WWW$ e saprebbe di avere in mano $BWW$, ma questo non può essere, perché ha detto di non conoscere il colore della terza pallina.
Allora il terzo potrebbe avere l'etichetta $BBW$ e potrebbe dire di non conoscere il colore della terza pallina.
A questo punto, però, il quarto non potrebbe dire di conoscere le palline del primo e del secondo.

Quindi l'unico caso buono è il quarto caso: il primo ha l'etichetta $BBW$ e dopo aver pescato due nere capisce di avere in mano $BBB$.
Caso 4a: Il primo ha l'etichetta $BBW$ e il secondo $WWW$
Caso 4b: Il primo ha l'etichetta $BBW$ e il secondo $BBB$
Caso 4c: Il primo ha l'etichetta $BBW$ e il secondo $BWW$

Caso 4a: Il secondo non può avere l'etichetta $WWW$, perché dopo aver pescato una nera e una bianca non avrebbe saputo indovinare la terza.
Caso 4b: Il secondo non può avere l'etichetta $BBB$, perché dopo aver pescato una nera e una bianca non avrebbe saputo indovinare la terza.
Caso 4c: Il secondo ha l'etichetta $BWW$ e capisce di avere in mano $BBW$. Questo è l'unico caso buono.

Quindi, il primo ha etichetta $BBW$ e capisce di avere in mano $BBB$.
Il secondo ha etichetta $BWW$ e capisce di avere in mano $BBW$.
Il terzo ha etichetta $BBB$ e non può indovinare la terza pallina.
Il quarto ha etichetta $WWW$, sa che il primo (che aveva pescato $BB$ non può avere in mano $BBB$) e capisce di poter essere l'unico ad avere in mano $BBB$. Di conseguenza capisce che il terzo ha in mano $WWW$, che il secondo ha in mano $BBW$ e che il primo ha in mano $BBB$.

[Quinzio]

"axpgn":
Lo stesso vale anche per @Quinzio ...

Ok, ma veramente avevo gia' messo tutto nel codice...

Lo rimetto, con dei commenti

Le prime righe dichiarano le funzioni/variabili, si possono tralasciare per la comprensione

; Variable declarations
(declare-fun a0 () Int)
(declare-fun a1 () Int)
(declare-fun a2 () Int)
(declare-fun a3 () Int)
(declare-fun b0 () Int)
(declare-fun b1 () Int)
(declare-fun b2 () Int)
(declare-fun b3 () Int)

Poi ci sono i vincoli.
I primi sono dichiarazioni banali ma necessarie.
I saggi sono a0, a1, a2, a3 e le etichette sono le "b".
Ogni saggio possiede una scatola numerata da 0 a 3:
0 BBB
1 BBW
2 BWW
3 WWW
Idem per le etichette.

; Constraints
(assert (>= a0 0))
(assert (>= a1 0))
(assert (>= a2 0))
(assert (>= a3 0))
(assert (>= b0 0))
(assert (>= b1 0))
(assert (>= b2 0))
(assert (>= b3 0))
(assert (<= a0 3))
(assert (<= a1 3))
(assert (<= a2 3))
(assert (<= a3 3))
(assert (<= b0 3))
(assert (<= b1 3))
(assert (<= b2 3))
(assert (<= b3 3))

I saggi possiedono tutti scatole diverse, anche le etichette appartengono a scatole diverse.
Il codice che segue e' un modo per assegnare 4 numeri a 4 variabili. Forse c'e' un modo piu' veloce, non so.

(assert (not(= a0 a1)))
(assert (not(= a0 a2)))
(assert (not(= a0 a3)))
(assert (not(= a1 a2)))
(assert (not(= a1 a3)))
(assert (not(= a2 a3)))
(assert (not(= b0 b1)))
(assert (not(= b0 b2)))
(assert (not(= b0 b3)))
(assert (not(= b1 b2)))
(assert (not(= b1 b3)))
(assert (not(= b2 b3)))

L"etichetta assegnata a una scatola (assegnata al saggio) non corrisponde.

(assert (not(= a0 b0)))
(assert (not(= a1 b1)))
(assert (not(= a2 b2)))
(assert (not(= a3 b3)))

Il saggio a0 possiede la BBB o BBW, quindi la scatola 0 o 1 nel codice.
Per gli altri saggi valgono considerazioni simili.

(assert (or(= a0 0) (= a0 1)))
(assert (or(= a1 1) (= a1 2)))
(assert (or(= a2 2) (= a2 3)))

I primi due sanno che scatola hanno quindi l'etichetta e' congruente (si poteva gia' assegnare il valore).
I saggio a2 non sa qual e' la sua scatola, quindi non ha la sua e non ha la 2 o la 3 (altirmenti lo saprebbe)

(assert (or(= b0 0) (= b0 1)))
(assert (or(= b1 1) (= b1 2)))
(assert (or(= b2 0) (= b2 1)))

Infine si puo' trovare la soluzione con un 'theorem prover'.
https://compsys-tools.ens-lyon.fr/z3/

; Solve
(check-sat)
(get-model)

[axpgn]

@Drazen77

Quando analizzi la situazione di un saggio non puoi considerare quello che viene DETTO dopo, altrimenti ti perdi qualcosa ...

@Quinzio

"Quinzio":Ok, ma veramente avevo gia' messo tutto nel codice...

Lo avrai anche messo ma se lo capisci solo tu per me è un problema

Comunque la questione è un'altra ... non avendo analizzato tu personalmente il problema, hai dato per scontato che fosse coerente e l'hai passato al "risolutore" però così non è ...

Domani posto la mia versione ...

[axpgn]

Io la vedo così ...

Nella scatola del primo saggio o ci sono tre palline nere o due nere e una bianca, dipende dall'etichetta che ci trova sopra perciò abbiamo due possibilità $\text(BBB[bbw])$ o $\text(BBW[bbb])$ (le parentesi quadre sono la scatola )
Anche per il secondo saggio il contenuto della scatola dipende solo dall'etichetta della sua scatola ovvero $\text(BBW[bww])$ o $\text(BWW[bbw])$ perché le altre due non gli dicono niente (quella $\text(BBB)$ gli permetterebbe di sapere che il primo ha $\text([bbb])$ che però non gli serve a niente).
I casi comunque rimangono solo due e non quattro perché si escludono a vicenda.
Il terzo saggio non può avere l'etichetta $\text(BBW)$ perché sicuramente usata in uno dei due casi precedenti.
Se avesse l'etichetta $\text(BWW)$ saprebbe di avere tre palline bianche -> contraddizione.
Se avesse l'etichetta $\text(WWW)$ saprebbe di avere due palline bianche e una nera ->
contraddizione.
Quindi ha l'etichetta $\text(BBB)$ e va tutto bene? No, perché siccome è un saggio deduce che il quarto ha l'etichetta $\text(WWW)$ (l'unica rimasta in tal caso) e quindi saprebbe che la sua scatola contiene tre palline bianche -> contraddizione.
Ovvero il testo è incoerente.

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

"axpgn":Io la vedo così ...

Nella scatola del primo saggio o ci sono tre palline nere o due nere e una bianca, dipende dall'etichetta che ci trova sopra perciò abbiamo due possibilità $\text(BBB[bbw])$ o $\text(BBW[bbb])$ (le parentesi quadre sono la scatola )
Anche per il secondo saggio il contenuto della scatola dipende solo dall'etichetta della sua scatola ovvero $\text(BBW[bww])$ o $\text(BWW[bbw])$ perché le altre due non gli dicono niente (quella $\text(BBB)$ gli permetterebbe di sapere che il primo ha $\text([bbb])$ che però non gli serve a niente).
I casi comunque rimangono solo due e non quattro perché si escludono a vicenda.
Il terzo saggio non può avere l'etichetta $\text(BBW)$ perché sicuramente usata in uno dei due casi precedenti.
Se avesse l'etichetta $\text(BWW)$ saprebbe di avere tre palline bianche -> contraddizione.
Se avesse l'etichetta $\text(WWW)$ saprebbe di avere due palline bianche e una nera ->
contraddizione.
Quindi ha l'etichetta $\text(BBB)$ e va tutto bene? No, perché siccome è un saggio deduce che il quarto ha l'etichetta $\text(WWW)$ (l'unica rimasta in tal caso) e quindi saprebbe che la sua scatola contiene tre palline bianche -> contraddizione.
Ovvero il testo è incoerente.

Cordialmente, Alex

Non ci sono incoerenze o contraddizioni, il problema e' corretto e la soluzione e' quella che ho dato.
E solo che e' tutto un gran ca-si-no ed e' facile perdersi.
Vedi che il solutore automatico ti permettere di arrivare a meta e di non impazzire ?

Come ti dicevo la soluzione e' questa:

Saggio Scatola Etichetta
1------(BB)B--------BBW          
2------(B)B(W)------BWW
4------BWW----------WWW
3------(WW)W--------BBB

Tra parentesi ci sono le palline estratte.

The first sage takes out two black balls and says, “I know the color of the third ball.”
E' corretto: con l'etichetta BBW, la scatola puo' contenere BBB, BWW, o WWW. Il saggio ha estratto BB, quindi deve avere la scatola BBB.

The second sage takes out one black and one white ball and says, “I know the color of the third ball.”
E' corretto: con l'etichetta BWW, la scatola puo' contenere BBB, BBW, o WWW. Il saggio ha estratto BW, quindi deve avere la scatola BBW.

The third sage takes out two white balls and says, “I don’t know the color of the third ball.”
E' corretto: con l'etichetta BBB, la scatola puo' contenere BBW, BWW, o WWW. Il saggio ha estratto WW quindi puo' avere BWW o WWW, e non puo' dire nulla di certo.

The fourth sage says, without taking out any balls, “I know the color of all the balls in my box and also the content of all the other boxes.”
Qui la situazione si fa delicata, quindi occhio.
In base alle palline estratte dagli altri saggi, che il quarto saggio vede, ci sono 4 possibili soluzioni.
Il quarto saggio inoltre conosce la sua etichetta e ha ascoltato gli altri 3 saggi, chi ha detto che conosce o non conosce con certezza le palline della sua scatola.
Prendendo le soluzioni una per una, il quarto saggio puo' fare delle assunzioni circa le etichette (fa delle assunzioni, non le conosce tranne la sua).
Vediamo:

Soluzione 1
Saggio Scatola Etichetta
4------BBB--------WWW          
1------(BB)W-----BBB
2------(BW)W----BBW
3------(WW)W-----BBB o BBW

Soluzione 2
Saggio Scatola Etichetta
1------(BB)B------BBW          
4------BBW--------WWW
2------(BW)W-----BBW
3------(WW)W-----BBB o BBW

Soluzione 3
Saggio Scatola Etichetta
1------(BB)B-------BBW          
2------(B)B(W)-----BWW
4------BWW--------WWW
3------(WW)W-----BBB

Soluzione 4
Saggio Scatola Etichetta
1------(BB)B-------BBW          
2------(B)B(W)-----BWW
3------B(WW)-----BBB o BBW  
4------(WW)W--------WWW

La soluzione 1 non puo' essere perche' le etichette della scatola WWW sono gia' state usate per le scatole BBW e BWW.
La soluzione 2 non puo' essere perche' le scatole BBB e BWW dovrebbero avere la stessa etichetta.
La soluzione 4 non puo' essere perche' la scatola WWW avrebbe l'etichetta corretta.

Rimane la soluzione 3, che non ha contraddizioni ed e' l'unica combinazione di saggi, scatole ed etichette possibile.

[axpgn]

Beh, vedo che non mi seguite ...

L'incoerenza nel testo consiste nel fatto che il terzo saggio NON può sostenere di NON conoscere il colore della sua terza pallina; LO SA!
Il perché sta in quello che ho scritto

[Quinzio]

Si, in effetti il terzo saggio potrebbe anche concludere il gioco.

[gabriella127]

Non ho visto le vostre risposte né so qual è la fallacia indicata da axpgn. Dopo leggo il tutto, ora dò la mia soluzione, è difficile da spiegare senza fare casino. Quindi faccio disegnino .

Le possibili etichette e i possibili contenuti delle quattro scatole sono

BBB BBW BWW WWW

Mo' il disegnino:






Quindi ragioniamo così:

Il saggio 1 ha estratto due palline nere e sa cosa ha nella scatola, quindi deve avere una etichetta (falsa) che glielo fa capire, ne segue che ha come etichetta BBB o BBW, e il contenuto della scatola è ovviamente BBB o BBW.

Il saggio 2 estrae una pallina bianca e una nera, e per lo stesso ragionamento (deve avere una etichetta che glielo fa capire) ha come etichetta BBW o BWW, e idem come possibili contenuti della scatola,

Il terzo saggio 3 non capisce qual è la terza pallina, quindi deve avere una etichetta che non lo fa capire, BBB o BBW.

Il saggio 4 sa che lui ha l'etichetta, falsa, WWW, e che il 3 ha due palline bianche, ma non sa chi è l'altro che ha due pallne bianche. Ma questo lo deduce dalla disposizione delle etichette che indovina con il seguente ragionamento:

Il saggio 3 deve per forza avre l'etichetta BBB.
Infatti, se non l'avesse, avrebbe BBW come etichetta. Allora capirebbe che Il saggio 2 avrebbe BBW come etichetta e avrebbe nella scatola BWW, con due palline bianche e una nera.
Quindi avrebbe capito che lui non puo avere BWW, ma ha WWW.

Poiché il saggio 3 ha BBB come etichetta, le etichette di 1 e 2 devono essere come nella figura (con il cerchio blu), e i contenuti come nella figura con il cerchio rosso.


Dalla disposizione delle etichette il saggio 4 poi capisce cosa c'è nelle scatole.


Bene, mi fuma il cervello, non so a voi

[axpgn]

Hai mancato l'incoerenza del testo come tutti gli altri
(Però il ragionamento è corretto , eh! )

[gabriella127]

Non so se c'è incoerenza, ci penso perché non ho letto i tuoi post.
Forse sta altrove, ma ti ripeto, non l'ho cercata.
Nel mio ragionamento non ho visto incoerenze, per la verità.

[gabriella127]

"axpgn":Hai mancato l'incoerenza del testo come tutti gli altri
(Però il ragionamento è corretto , eh! )

Ho letto il tuo post, ma per la verità non vedo l'incoerenza.

Il terzo saggio sa che il 2 ha l'etichetta BWW, e quindi che il 2 ha le palline nella scatola BBW, cioè ha due palline nere.

Quindi restano solo lui e il 4 con due palline bianche nella scatola, ma lui non vede l'etichetta di 4, e non sa se ha tre palline bianche o due bianche e una nera.

[axpgn]

Il terzo saggio non vede l'etichetta del quarto ma deduce quale sia (e lo deduce anche abbastanza facilmente)
Ovvero se è stato in grado di dedurre quali potevano essere le situazioni dei primi due, è in grado di sapere che se l'etichetta $\text(WWW)$ non ce l'ha lui allora ce l'ha il quarto.
Questa è l'incoerenza nel testo cioè il fatto che il terzo "non può non sapere"

[gabriella127]

Hai ragione, i primi due non possono avere WWW, quindi il terzo sa che il quarto ha WWW.
Se è così il testo è proprio sbagliato.

[gabriella127]

Aspe' aspe', forse c'è una fallacia nel nostro ragionamento, e non nel testo.
Noi diamo per scontato, per stabilire le etichette dei primi due, che la risposta di 2 è indipendente da quella di 1, ma non è detto che sia così, forse c'è un'altra soluzione.
Vi dò l'idea, caso mai trovate un'altra soluzione, io ora non posso.