Pallina bianca

[axpgn]

In una borsa c'è una pallina, si sa solo che o è bianca o è nera.
Una pallina bianca viene introdotta nella borsa.
Dopo una bella mescolata, una pallina viene estratta dalla borsa: è bianca.

Qual è ora la probabilità di estrarre una pallina bianca dalla borsa?



Cordialmente, Alex

[gabriella127]

Questa la mia intuizione a prima vista (ora aspetto il cxxxone di axpgn, che ammette che ho ragione solo sotto tortura )

Secondo me è sempre $1/2$.

La probabilità che nella borsa ci sia una pallina bianca inizialmente è $1/2$.

Ora mettiamo la pallina biaìnca nella borsa: sono possibili due combinazioni, o nella borsa ci sono due palline bianche ($BB$) o ci sta una pallina bianca e una nera ($BN$):

$BB$ o $BN$

entrambe hanno probabilità $1/2$.

Ora togliamo la pallina bianca, restiamo con due possibilità

$B$ o $N$

entrambe hanno probabilità $1/2$.

Insomma, il gioco ci dice solo che abbiamo messo una pallina bianca e estratto una pallina bianca, quindi restiamo tale e quale.

(Non bisogna confondersi con un problema di probabilità condizionata, che ci chiedebbe, dati due gruppi di due palline, $BB$ e $BN$, da quale gruppo può provenire una pallina bianca, in questo caso avremmo in partenza due gruppi, è un problema diverso.)

[axpgn]

No

[gabriella127]

Ci ripenso, ma sinceramente mi pare strano.

[gabriella127]

Mi pare strano che si tratta solo di calcolare le probabilità condizionate di estrazione di una pallina bianca da due gruppi possibili, $BB$ e $BN$, questo è tutto?

Cioè calcolare p(BB/B) e p(BN/B)? (probabilità che fossero due bianche posto che è stata estratta una pallina bianca e che fossero una nera e una bianca, posto che è stata estratta una bianca?
Nel senso che non è un gioco, è un esercizio di probabilità, dov'è l'idea?

Perciò cercavo l'inghippo, e avevo escluso questa soluzione.
In genere nei giochi di probabilità c'è qualcosa che confonde concettualmente, se non sono esercizi.
Ma forse c'è e non lo vedo.

O forse l'inghippo è che uno si confonde e considera che inizialmente c'è o una pallina bianca o una nera, invece quel livello iniziale non va considerato?
Bo', mi pare troppo semplice.

[Quinzio]

La pallina 1 puo' essere solo bianca (1B), la seconda pallina puo' essere bianca o nera (2B, 2N).
Gli eventi sono 4 (palline ordinate per estrazione):
1B, 2B
1B, 2N
2B, 1B
2N, 1B

Di questi, 2 sono quelli desiderati (2 bianche estratte), e 3 sono quelli in cui la prima pallina e' bianca.
Quindi la probabilita' e' 2/3.

[axpgn]

La probabilità è corretta ma non mi è chiarissimo il tuo procedimento.

Il mio è questo:
Chiamo $N$ l'eventuale pallina nera inizialmente presente nella borsa, chiamo $B_1$ l'eventuale pallina bianca inizialmente presente nella borsa, chiamo $B_2$ la pallina bianca che introduco nella borsa.
Dopo l'estrazione di una pallina bianca, la situazione è questa:

IN	OUT
$B_2$	$B_1$

da cui la probabilità di estrarre una pallina bianca è di $2$ su $3$

[Quinzio]

"axpgn":

La probabilità è corretta ma non mi è chiarissimo il tuo procedimento.

Il mio è questo:
Chiamo $N$ l'eventuale pallina nera inizialmente presente nella borsa, chiamo $B_1$ l'eventuale pallina bianca inizialmente presente nella borsa, chiamo $B_2$ la pallina bianca che introduco nella borsa.
Dopo l'estrazione di una pallina bianca, la situazione è questa:

IN	OUT
$B_2$	$B_1$

da cui la probabilità di estrarre una pallina bianca è di $2$ su $3$

Qullo che faccio e' prendere in considerazione i casi possibili (che sono 4) e quindi di selezionare quelli che hanno la pallina bianca come prima estratta.
L'applicazione del teorema di Bayes a questo problema sarebbe

$P("seconda e' bianca"|"prima e' bianca") = (P("prima e seconda sono bianche"))/(P("prima e' bianca")) = (2/4)/(3/4) = 2/3$
Il fatto che i denominatori si cancellino puo' fare in modo che altri ragionamenti non del tutto corretti portino al risultato giusto.

Potresti provare a confrontarti con la versione generale di questo problema:
in un urna ci sono $M$ palline bianche e poi altre $N$ palline, ciascuna della quali puo' essere bianca o nera.
Le $M+N$ palline vengono estratte senza reinserirle nell'urna.
Se la prima estratta e' bianca, qual e' la probabilita' che siano tutte bianche ?
Risposta:
[ot]$P = N/((2M+N)\ 2^(N-1))$

che nel nostro caso con $N=M=1$ diventa $2/3$[/ot]