Palle rimbalzanti
Questo problema era in un mio compito in classe di quando ero in quinta liceo. Escludendo moti di rotazione della terra, forze centrifughe e Coriolis vari… 
Si ha una palla che cade, partendo da ferma, da 5 metri di altezza ed a ogni rimbalzo perde 1/5 di altezza, quanti metri fa prima di fermarsi?
Attenzione a non fare errori di distrazione!!!
WonderP.
Si ha una palla che cade, partendo da ferma, da 5 metri di altezza ed a ogni rimbalzo perde 1/5 di altezza, quanti metri fa prima di fermarsi?
Attenzione a non fare errori di distrazione!!!
WonderP.
Risposte
A essere rigorosi la palla non si fermerà mai... cmq, io dico 45 metri... ma non mostro il procedimento così risponderanno anche gli altri!
Modificato da - goblyn il 16/10/2003 18:41:06
Modificato da - goblyn il 16/10/2003 18:41:06
d'accordo anch'io!! 45m!!
però posso fare una domanda?
intuitivamente riesco a capire che una frazione a/b, in cui b>a elevata a +oo, tenda a zero.
lim (a/b)^x=0
x->+oo
perchè sarebbe come dire che all'infinito b diventa sempre più grande rispetto ad a, e quindi diciamo che l'infinito al denominatore è "più forte", ma esiste un altro procedimento un tantino più rigoroso?? al momento ho in mente solo questo concetto del "più forte" tra gli infiniti, che non mi sembra poi così rigoroso!!
attendo notizie...sto studiando ora i limiti, per cui...
cmq resto convinto del fatto che faccia 45m!!
ciao
il vecchio
però posso fare una domanda?
intuitivamente riesco a capire che una frazione a/b, in cui b>a elevata a +oo, tenda a zero.
lim (a/b)^x=0
x->+oo
perchè sarebbe come dire che all'infinito b diventa sempre più grande rispetto ad a, e quindi diciamo che l'infinito al denominatore è "più forte", ma esiste un altro procedimento un tantino più rigoroso?? al momento ho in mente solo questo concetto del "più forte" tra gli infiniti, che non mi sembra poi così rigoroso!!
attendo notizie...sto studiando ora i limiti, per cui...
cmq resto convinto del fatto che faccia 45m!!
ciao
il vecchio
OK! La palla percorre 45 metri.
Rilancio:
Quanto tempo impiega per fermarsi?
Rilancio:
Quanto tempo impiega per fermarsi?
tanto, tanto tempo...
Corretto, 45 metri! Ho notato che spesso su questo problema si tende a sbagliare e rispondere 25 metri, contando solo i metri che la palla percorre verso il basso, errore classico per chi usa ciecamente le formule senza pensare. Non ho mai dubitato di voi!
Nel testo che avevo scritto inizialmente, non c’era “fino a quando si ferma” ma “dopo infiniti rimbalzi”, ma mi sembrava troppo matematico e poco pratico.
Per quanto riguarda la richiesta di vecchio, posso solo dirti che un numero minore di 1 (a/b con b>a) moltiplicato per se stesso tende a 0, si parla di “più forte” o meglio di “ordine di grandezza superiore” quando x è base cioè nel caso di
lim (x/x^2)=0
x->+oo
x^2 è di ordine superiore rispetto a x^1, ma penso che queste definizioni le vedrai all’università.
WonderP.
Nel testo che avevo scritto inizialmente, non c’era “fino a quando si ferma” ma “dopo infiniti rimbalzi”, ma mi sembrava troppo matematico e poco pratico.
Per quanto riguarda la richiesta di vecchio, posso solo dirti che un numero minore di 1 (a/b con b>a) moltiplicato per se stesso tende a 0, si parla di “più forte” o meglio di “ordine di grandezza superiore” quando x è base cioè nel caso di
lim (x/x^2)=0
x->+oo
x^2 è di ordine superiore rispetto a x^1, ma penso che queste definizioni le vedrai all’università.
WonderP.
ok, grazie WonderP!! aspetterò ancora un po'...
cmq simpatico il quesito...
ora rispondo a MaMo!! mi sento galvanizzato...sono riuscito a risolverlo!!! secondo me impiega 18,13 secondi...che non è poi così tanto Goblyn!!!
che bello che bello!!!
poi se volete vi dico anche come ho fatto!! spero di non aver sbagliato i conti...sapete l'emozione!!!
attendo i vostri risultati!!!
un saluto
il vecchio felice!!!
cmq simpatico il quesito...
ora rispondo a MaMo!! mi sento galvanizzato...sono riuscito a risolverlo!!! secondo me impiega 18,13 secondi...che non è poi così tanto Goblyn!!!
che bello che bello!!!
poi se volete vi dico anche come ho fatto!! spero di non aver sbagliato i conti...sapete l'emozione!!!
attendo i vostri risultati!!!
un saluto
il vecchio felice!!!
Io sono proprio curioso di sapere come hai trovato 18,13 secondi. Che formule hai usato?
WonderP.
WonderP.
Ma scusa, se la palla perde sempre 1/5 di altezza, al rimbalzo n-esimo avrà perso:
h*(1/5)^n metri
che va a zero (palla ferma) per n-->inf! E' come il paradosso della lepre e della tartaruga! la lepre non raggiungerà mai la tartaruga!
Modificato da - goblyn il 18/10/2003 11:40:04
h*(1/5)^n metri
che va a zero (palla ferma) per n-->inf! E' come il paradosso della lepre e della tartaruga! la lepre non raggiungerà mai la tartaruga!
Modificato da - goblyn il 18/10/2003 11:40:04
l'avrà sicuramente sparato a caso!anche io sono curioso di sapere la formula.
hey Goblyn ma che dici??il paradossodi Zenone è vero solo in quanto "pensato", ma davvero secondo te Achille non raggiungerà mai la tartaruga???nella realtà questo succederà!!! come te lo spieghi???
è una questione di limiti...
comunque ora vi spiego come ho fatto visto che non sono uno che dice le cose a caso!!cosa che invece mi sembra abbia fatto tu mio caro Marco!!!
non è con la presunzione che si risolvono i problemi di matematica!!!se tu non sei stato in grado di risolverlo non significa che gli altri che hanno almeno tentato di dare una risposta abbiano risposto a caso!!!!chiaro???!!!!
comunque eccoti il mio procedimento...non ho mai sopportato gli sbruffoni!!!!!!!!!!!!!!!!!
partiamo da semplici considerazioni fisiche, ovviamente ho eliminato l'attrito dell'aria...
ok?non ha senso prendere in considerazione V0...tanto all'inizio di ogni moto è uguale a zero.
allora
fin qui nulla di speciale...
ma allora
con
il primo tempo va preso una sola volta perchè è il tempo della caduta iniziale della palla, gli altri t vanno invece presi 2 volte perchè la palla percorre due volte lo stesso spazio nello stesso tempo: quando rimbalza e quando ridiscende.
tutto chiaro fin qui? bene vediamo allora un po' di formule...
sappiamo che
iniziale = 5m
quindi
mettiamo a fattor comune
mettiamo ancora a fattor comune, inoltre faccio notare che all'interno della parentesi tonda abbiamo una sommatoria di una prograsione geometrica con ragione=sqrt(4/5)
ricordo che
quindi:
è chiaro che bisogna calcolarne il limite...
e con questo è tutto!!!
chiedo conferme da MaMo visto che è lui che ha posto questo quesito...
ciao
a tutti e scusate lo sfogo iniziale ma quando ci vuole ci vuole...
il vecchio
Modificato da - vecchio il 18/10/2003 16:37:27
è una questione di limiti...
comunque ora vi spiego come ho fatto visto che non sono uno che dice le cose a caso!!cosa che invece mi sembra abbia fatto tu mio caro Marco!!!
non è con la presunzione che si risolvono i problemi di matematica!!!se tu non sei stato in grado di risolverlo non significa che gli altri che hanno almeno tentato di dare una risposta abbiano risposto a caso!!!!chiaro???!!!!
comunque eccoti il mio procedimento...non ho mai sopportato gli sbruffoni!!!!!!!!!!!!!!!!!
partiamo da semplici considerazioni fisiche, ovviamente ho eliminato l'attrito dell'aria...
ok?non ha senso prendere in considerazione V0...tanto all'inizio di ogni moto è uguale a zero.
allora
fin qui nulla di speciale...
ma allora
con
il primo tempo va preso una sola volta perchè è il tempo della caduta iniziale della palla, gli altri t vanno invece presi 2 volte perchè la palla percorre due volte lo stesso spazio nello stesso tempo: quando rimbalza e quando ridiscende.
tutto chiaro fin qui? bene vediamo allora un po' di formule...
sappiamo che
iniziale = 5mquindi
mettiamo a fattor comune
mettiamo ancora a fattor comune, inoltre faccio notare che all'interno della parentesi tonda abbiamo una sommatoria di una prograsione geometrica con ragione=sqrt(4/5)
ricordo che
quindi:
è chiaro che bisogna calcolarne il limite...
e con questo è tutto!!!
chiedo conferme da MaMo visto che è lui che ha posto questo quesito...
ciao
a tutti e scusate lo sfogo iniziale ma quando ci vuole ci vuole...
il vecchio
Modificato da - vecchio il 18/10/2003 16:37:27
Devo un attimo ricontrollare le formule con calma, non ho mai dubitato di te, per questo ti ho subito chiesto informazioni. Io avrei risposto che fa infiniti rimbalzi, ma effettivamente la domanda era quanto tempo ci mette! Non quanti rimbalzi fa!
WonderP.
WonderP.
non ti arrabbiare, vecchio!
questa è della serie oo per 0 --> sempre oo.
ne sentirai di peggiori.
sono d'accordo con te:
tratta per tratta ogni tempo è proporzionale alla radice dello spazio.
se la somma degli spazi converge, converge anche quella dei tempi.
solo un consiglio: ti sei affaticato calcolando correttamente il limite della somma della successione geometrica; c'è già una formula.
tony - achille
questa è della serie oo per 0 --> sempre oo.
ne sentirai di peggiori.
sono d'accordo con te:
tratta per tratta ogni tempo è proporzionale alla radice dello spazio.
se la somma degli spazi converge, converge anche quella dei tempi.
solo un consiglio: ti sei affaticato calcolando correttamente il limite della somma della successione geometrica; c'è già una formula.
tony - achille
Bravo vecchio!
Confermo la tua soluzione, ma .... nervi saldi!
Non pensavo che il problema da me posto sollevasse un vespaio!
Confermo la tua soluzione, ma .... nervi saldi!
Non pensavo che il problema da me posto sollevasse un vespaio!
grazie WonderP,ma infatti non ce l'avevo con te...cmq credo che abbia ragione MaMo...tanto chiasso per niente...già...forse mi sono lasciato un po' troppo andare...faccio le mie scuse a tutto il forum...dopotutto è un forum di matematica, lo scopo non è aver ragione!!
grazie ai più "vecchi" di me...che hanno dimostrato saggezza, non avevo dubbi..
...solo una cosa...non capisco cosa voleva dire Tony qundo diceva:
in che senso?c'è già una formula?io ho preso in considerazione la formula della sommatoria di una progressione geometrica di ragione q
(1-q^n)/1-q ne esiste un altra???
sono incuriosito dalla tua osservazione...magari puoi essere più chiaro?grazie..
scusate ancora
ciao
al prossimo quesito
il vecchio
grazie ai più "vecchi" di me...che hanno dimostrato saggezza, non avevo dubbi..
...solo una cosa...non capisco cosa voleva dire Tony qundo diceva:
citazione:
ti sei affaticato calcolando correttamente il limite della somma della successione geometrica; c'è già una formula.
in che senso?c'è già una formula?io ho preso in considerazione la formula della sommatoria di una progressione geometrica di ragione q
(1-q^n)/1-q ne esiste un altra???
sono incuriosito dalla tua osservazione...magari puoi essere più chiaro?grazie..
scusate ancora
ciao
al prossimo quesito
il vecchio
diceva vecchio:
*quote:
...solo una cosa...non capisco cosa voleva dire Tony qundo diceva:
citazione:
ti sei affaticato calcolando correttamente il limite della somma della successione geometrica; c'è già una formula.
in che senso?c'è già una formula?io ho preso in considerazione la formula della sommatoria di una progressione geometrica di ragione q
(1-q^n)/1-q ne esiste un altra???
sono incuriosito dalla tua osservazione...magari puoi essere più chiaro?grazie..
[/quote]
Perfetto, vecchio, concordo pienamente ancora, come prima, con te e con la formula che hai citato adesso.
La mia osservazione riguardava il fatto che nella tua dimostraz. prec. non avevi brutalmente "comprato" detta formula, ma te la eri ricavata diligentemente, faticosamente e correttamente, dimostrandola e sciorinandola all'incredulo popolo, passaggio per passaggio (come se il tuo rigore potesse convincerli).
Ripeto: non ti arrabbiare, vecchio, ne hai viste e ne vedrai di peggiori!
E anche io, e tu faremo le nostre magre figure, se parleremo.
Grazie del tuo intervento, che cancella false credenze (18 secondi non è "tanto, tanto tempo...").
Continua ad essere un essere pensante.
tony tartaruga (Achille è già a casa, ma anche lei arriva, perbacco!)
P.S. rilancio (ma è ormai facile)
se la palla fa "toc" ogni volta che tocca terra, qual'è la funzione dei "toc", "toc", "toc" nel tempo?
*ERRATA CORRIGE*
Questo msg contiente delle "quote" nidificate e si vede che non funzionano. Il pasticcio è evidente. Per ora non approfondisco.
*FINE ERRATA CORRIGE*
*Edited by - tony on 19/10/2003 03:24:23
Se la tartaruga ed Achille si muovessero come prevede il paradosso di Zanone, Achille non potrebbe mai raggiungere la tartaruga. Gli mancherebbe sempre un pezzetto. Che nella realtà l'impaziente Achille faccia un passo più lungo di quanto gli è consentito dal regolamento... beh allora bara!
Tornando alla palla...
ci dev'essere qualcosa che non va.
Se la palla si ferma in un tempo finito, allora in un tempo finito smette anche di rimbalzare. In quel momento l'altezza della palla è 0.
Secondo la legge di diminuzione dell'altezza, nel rimbalzo precedente la palla dev'essere ad una quota pari a 0*5/4=0. E così via procedendo all'indietro. Quindi la palla per essere ferma non dovrebbe essere mai partita. Quindi la palla non smette mai di rimbalzare. Quindi dicendo che ci mette un tempo finito si ammette anche che la palla si fermi.
Che non smetta mai di rimbalzare si evince anche da considerazioni energetiche. Ad ogni rimbalzo (n-esimo rimbalzo) la palla perde una quantità di energia pari a:
m*g*h(n)/5 = m*g* (1/5) * h0 * (4/5)^n
La palla si fermerà quando avrà perso tutta la sua energia (che inizialmente vale m*g*h0):
Somma[n=0;N] (m*g* (1/5) * h0 * (4/5)^n) = m*g*h0
m*g*h0 * [1-(4/5)^(N+1)] = m*g*h0
da cui N=infinito. Quindi la palla simbalzerà infinite volte prima di perdere tutta la sua energia e quindi di fermarsi. Ce lo aspettavamo.
La palla non si fermerà mai e allora la domanda di MaMo non può essere: "Quanto tempo impiegherà la palla prima di fermarsi" semplicemente perché non si fermerà mai.
La domanda giusta è: "quanto tempo ci mette la palla a percorrere 45 m".
Intuitivamente viene da dire che ci mette infinito tempo. Bisogna però cercare di staccarsi dal senso comune (come non ho fatto io nei primi post) e ammettere che un numero infinito di azioni (rimbalzi) possa avvenire in un tempo finito. In effetti se calcoliamo la frequenza dei rimbalzi (numero dei rimbalzi nell'unità di tempo) vediamo che questa diverge. Cioè mano a mano che rimbalza la palla tende a rimbalzare con frequenza sempre maggiore. Cambiando punto di vista, è come se la frequenza dei rimbalzi fosse costante e il tempo rallentasse indefinitamente fino a fermarsi (ragazzi, siamo arrivati all'orizzonte degli eventi... manco Stephen Hawking...).
In conclusione la palla rimbalza infinite volte in un tempo finito (?!).
Una raffigurazione di questa situazione è data dal comportamento per x-->0 di sin(1/x). Tracciatene il grafico...
Modificato da - goblyn il 19/10/2003 05:44:24
Tornando alla palla...
ci dev'essere qualcosa che non va.
Se la palla si ferma in un tempo finito, allora in un tempo finito smette anche di rimbalzare. In quel momento l'altezza della palla è 0.
Secondo la legge di diminuzione dell'altezza, nel rimbalzo precedente la palla dev'essere ad una quota pari a 0*5/4=0. E così via procedendo all'indietro. Quindi la palla per essere ferma non dovrebbe essere mai partita. Quindi la palla non smette mai di rimbalzare. Quindi dicendo che ci mette un tempo finito si ammette anche che la palla si fermi.
Che non smetta mai di rimbalzare si evince anche da considerazioni energetiche. Ad ogni rimbalzo (n-esimo rimbalzo) la palla perde una quantità di energia pari a:
m*g*h(n)/5 = m*g* (1/5) * h0 * (4/5)^n
La palla si fermerà quando avrà perso tutta la sua energia (che inizialmente vale m*g*h0):
Somma[n=0;N] (m*g* (1/5) * h0 * (4/5)^n) = m*g*h0
m*g*h0 * [1-(4/5)^(N+1)] = m*g*h0
da cui N=infinito. Quindi la palla simbalzerà infinite volte prima di perdere tutta la sua energia e quindi di fermarsi. Ce lo aspettavamo.
La palla non si fermerà mai e allora la domanda di MaMo non può essere: "Quanto tempo impiegherà la palla prima di fermarsi" semplicemente perché non si fermerà mai.
La domanda giusta è: "quanto tempo ci mette la palla a percorrere 45 m".
Intuitivamente viene da dire che ci mette infinito tempo. Bisogna però cercare di staccarsi dal senso comune (come non ho fatto io nei primi post) e ammettere che un numero infinito di azioni (rimbalzi) possa avvenire in un tempo finito. In effetti se calcoliamo la frequenza dei rimbalzi (numero dei rimbalzi nell'unità di tempo) vediamo che questa diverge. Cioè mano a mano che rimbalza la palla tende a rimbalzare con frequenza sempre maggiore. Cambiando punto di vista, è come se la frequenza dei rimbalzi fosse costante e il tempo rallentasse indefinitamente fino a fermarsi (ragazzi, siamo arrivati all'orizzonte degli eventi... manco Stephen Hawking...
).In conclusione la palla rimbalza infinite volte in un tempo finito (?!).
Una raffigurazione di questa situazione è data dal comportamento per x-->0 di sin(1/x). Tracciatene il grafico...
Modificato da - goblyn il 19/10/2003 05:44:24
Dice lupo grigio in un vecchio post del forum Medie Superiori:
"la funzione sin(1/x), è ben nota anche come ‘funzione emicrania’, in quanto il suo andamento per x che approssima lo 0 è veramente tale da farsi venire il mal di testa"...
E lo credo che è così!!!
Questo è infatti il grafico...
Il suo limite per x che tende a 0 vale sin(infinito)!!!
"la funzione sin(1/x), è ben nota anche come ‘funzione emicrania’, in quanto il suo andamento per x che approssima lo 0 è veramente tale da farsi venire il mal di testa"...
E lo credo che è così!!!
Questo è infatti il grafico...
Il suo limite per x che tende a 0 vale sin(infinito)!!!
concordo con te Goblyn, da un punto di vista teorico la palla non si fermerà mai, ne' Achille raggiungerà mai la tartaruga, ma al limitequesto succede eccome.cmq hai spiegato perfettamente la questione della funzioni convergenti..grazie anche a Fireball che ci ha fornito il grafico che altrimenti non avrei saputo come fare.
sono inoltre d'accordo con te Tony...è già accaduto di dire delle fesserie sul forum...ma spero di mantenere sempre un attegiamento umile per poter imparare seempre da voi...che ne capite certo molto più di me!!!
grazie ancora
P.S. non ho tanto ben capito la questione dei toc-toc...non è che me la spieghi...
ciao
il vecchio
sono inoltre d'accordo con te Tony...è già accaduto di dire delle fesserie sul forum
...ma spero di mantenere sempre un attegiamento umile per poter imparare seempre da voi...che ne capite certo molto più di me!!!grazie ancora
P.S. non ho tanto ben capito la questione dei toc-toc...non è che me la spieghi...
ciao
il vecchio
Ciao a tutti.
Diceva il vecchio:
Volentieri, vecchio.
Dicevo, rilanciando, "ma ormai è facile": immagina di sentire il suono della palla che rimbalza sul piano; "toc", poi il prossimo, chiaramente distanziato, "toc", poi gli altri, sempre più vicini e sempre più deboli, fino a diventare una frenetica sequenza di "tic tic tic trrr....".
Gli intervalli sono quelli da te calcolati correttamente e tendono a zero; la frequenza (se posso abusare di questo termine descrivendo un fenomeno non periodico; la definisco come l'inverso dell'intervallo) è variabile, cresce tendendo all'infinito, come ha correttamente osservato goblyn nel suo ultimo msg. e come dicevo io nel mio polemico "questa è della serie oo per 0 --> sempre oo"
Bene, la mia domanda voleva essere: "con che legge variano i toc toc nel tempo?".
Goblyn accenna ad una somiglianza con sin(1/x), ma lo dice genericamente, pensando all'addensamento delle onde avvicinandosi allo zero, non come risposta a quella domanda.
Questo "glissando" (come in musica) io lo vedrei meglio come un "sin(w*t), con w=una funz. crescente del tempo" (scrivo "w" per "omega piccolo");
vai avanti tu a cercare una w(t) plausibile?
Tony
Diceva il vecchio:
*quote:
P.S. non ho tanto ben capito la questione dei toc-toc...non è che me la spieghi...
Volentieri, vecchio.
Dicevo, rilanciando, "ma ormai è facile": immagina di sentire il suono della palla che rimbalza sul piano; "toc", poi il prossimo, chiaramente distanziato, "toc", poi gli altri, sempre più vicini e sempre più deboli, fino a diventare una frenetica sequenza di "tic tic tic trrr....".
Gli intervalli sono quelli da te calcolati correttamente e tendono a zero; la frequenza (se posso abusare di questo termine descrivendo un fenomeno non periodico; la definisco come l'inverso dell'intervallo) è variabile, cresce tendendo all'infinito, come ha correttamente osservato goblyn nel suo ultimo msg. e come dicevo io nel mio polemico "questa è della serie oo per 0 --> sempre oo"
Bene, la mia domanda voleva essere: "con che legge variano i toc toc nel tempo?".
Goblyn accenna ad una somiglianza con sin(1/x), ma lo dice genericamente, pensando all'addensamento delle onde avvicinandosi allo zero, non come risposta a quella domanda.
Questo "glissando" (come in musica) io lo vedrei meglio come un "sin(w*t), con w=una funz. crescente del tempo" (scrivo "w" per "omega piccolo");
vai avanti tu a cercare una w(t) plausibile?
Tony
Per rimbalzo intendo il moto della palla da terra fino al max della traiettoria e poi da lì fino a terra (trascuro la caduta iniziale).
Per completare l'n-esimo rimbalzo ci mette:
t(n)=sqrt( 4*h0/g * (4/5)^n )
In questo intervallo di tempo la palla completa un rimbalzo. Possiamo definire la frequenza come il numero di rimbalzi nell'unità di tempo, cioè basta prendere l'inverso di t(n). La frequenza varierà quindi a gradini (la palla infatti perde energia tutto in un botto quando tocca terra):
f(n)= sqrt( g/(4*h0) * (5/4)^n )
che come previsto diverge.
Volendo quindi disegnare una sinusoide con tale frequenza avremmo una successione di sinusoide lungo l'asse dei tempi, ciascuna che occupa un intervallo t(n) e che oscilla con frequenza f(n). Si vedrebbero quindi sinusoidi sempre + isteriche e brevi...
Questo problema è proprio divertente...
Per completare l'n-esimo rimbalzo ci mette:
t(n)=sqrt( 4*h0/g * (4/5)^n )
In questo intervallo di tempo la palla completa un rimbalzo. Possiamo definire la frequenza come il numero di rimbalzi nell'unità di tempo, cioè basta prendere l'inverso di t(n). La frequenza varierà quindi a gradini (la palla infatti perde energia tutto in un botto quando tocca terra):
f(n)= sqrt( g/(4*h0) * (5/4)^n )
che come previsto diverge.
Volendo quindi disegnare una sinusoide con tale frequenza avremmo una successione di sinusoide lungo l'asse dei tempi, ciascuna che occupa un intervallo t(n) e che oscilla con frequenza f(n). Si vedrebbero quindi sinusoidi sempre + isteriche e brevi...
Questo problema è proprio divertente...
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