Orologi

[axpgn]

1) Un impiegato va in pausa pranzo poco dopo mezzogiorno.
Mentre se ne va dà un'occhiata all'orologio.
Al suo ritorno le lancette si sono scambiate di posto.
A che ora è tornato?

2) Ieri ho fatto una lunga passeggiata, durata più o meno tra le due e tre ore.
Al mio ritorno a casa le lancette dell'orologio si erano scambiate di posto rispetto al momento in cui sono uscito.
Per quanto tempo ho camminato esattamente?

3) Un ragazzo inizia a risolvere un problema tra le quattro e le cinque del pomeriggio, quando le lancette dell'orologio a muro sono sovrapposte.
Quando lo finisce la lancetta dei minuti si trova all'opposto di quella delle ore.
Quanti minuti ha impiegato per risolvere il problema e a che ora ha finito?

Cordialmente, Alex

[curie88]

Anche a me esce cosi', ovvero:

-se la lancetta dei minuti è dopo quella delle ore:

$t=6\alpha/(11*\pi)$

-se la lancetta dei minuti è prima di quella delle ore:

$t=18\alpha/(11*\pi)$

$\alpha$ in radianti naturalmente....

[axpgn]

Presumo che $t$ sia in minuti ... comunque la formula che ho scritto prima va bene sempre, basta misurare l'angolo $alpha$ a partire dalla lancetta delle ore e in senso orario ...

[curie88]

"axpgn":Presumo che $t$ sia in minuti

No, mi risulta in ore...
Ammettiamo che siano esattamente le ore $11.55$.
Allora: $\alpha \approx pi/6$ (angolo misurato dalla lancette dei minuti verso quella delle ore)
Ci aspettiamo che la formula porti le lancetta separate da un angolo $2\alpha$ alle ore $12.10$ circa.
$t = 18\alpha/11*\pi$
$t = 18*(\pi/6)/11*\pi = 18/66 = 3/11 $ ore $ \approx 16$ minuti.

Comunque molto belli questi problemini. (con pazienza pensero' anche all' ultimo)
Ciao.

[curie88]

L' ultimo...mostro il procedimento(se volete dare delle semplificazioni; ho badato semplicemente a concludere):

Indico con $\Delta\alpha$ l'angolo percorso dopo il tempo $\Deltat$, in cui le lancette erano sovrapposte:

${$ $2*\pi * \Deltat = pi+\Delta\alpha$
${$ $\pi/6 * Deltat = \Delta\alpha$

da cui:
$\Deltat = 6/11$ (tempo in ore per finire l' esercizio)

Siccome alle ore $16.00$ le due lancette formano un angolo di $2\pi/3$, scrivo:

$2\pi * t = 2\pi/3 + \pi/6 * t$

e si trova: $t = 4/11$, ovvero tempo in ore dopo le 16.00 in cui il giovanotto ha iniziato l'esercizio.

quindi ha finito $T$ ore dopo le $16.00$:

$T = t + \Deltat = 4/11 + 6/11 = 10/11$

[axpgn]

Ok!