Ombra cono
Ciao,
Non riesco a risolvere questo quesito dei campionati internazionali di giochi matematici della Bocconi:
All’entrata dello stadio di Mathland si trova una scultura conica alta 2 m., in cui il raggio della base (posta al suolo) misura 1 m. A due metri dal centro della base del cono si trova un’asta verticale alta 4 m. , in cima alla quale c’è un proiettore molto potente che illumina tutta la zona.
Qual è l’area sul suolo dell’ombra del cono?
Ciao,
Marmi
Non riesco a risolvere questo quesito dei campionati internazionali di giochi matematici della Bocconi:
All’entrata dello stadio di Mathland si trova una scultura conica alta 2 m., in cui il raggio della base (posta al suolo) misura 1 m. A due metri dal centro della base del cono si trova un’asta verticale alta 4 m. , in cima alla quale c’è un proiettore molto potente che illumina tutta la zona.
Qual è l’area sul suolo dell’ombra del cono?
Ciao,
Marmi
Risposte
Dovrebbe essere, se non sbaglio, così:
Questo se si intende per 'ombra' quella calpestabile. Nel caso si volesse conteggiare anche la base del cono, si deve sommare $ \pi $. [aggiunta in modifica]
Ciao
B.
Questo se si intende per 'ombra' quella calpestabile. Nel caso si volesse conteggiare anche la base del cono, si deve sommare $ \pi $. [aggiunta in modifica]
Ciao
B.
E' altissima la probabilità che sia giusto: la Bocconi fornisce la medesima soluzione.
Io , tuttavia, non capisco perché quella sia la forma dell'ombra.
Ciao,
Marmi
Io , tuttavia, non capisco perché quella sia la forma dell'ombra.
Ciao,
Marmi
Puoi seguire un approccio sperimentale: con una sorgente quasi puntiforme (un led è perfetto) illumini un oggetto conico e osservi la sua ombra.
Se invece dai per scontato che l'ombra di un disco su un piano parallelo sia sempre un cerchio, puoi considerare il piano passante per il faro e per l'asse del cono e proiettare segmenti orizzontali di questa sezione sul piano di base. Questi saranno diametri dei cerchi proiezioni delle sezioni orizzontali del cono e ti sarà facile notare che tali cerchi sono tutti tangenti alla medesima coppia di ratte.
Volendo una dimostrazione in geometria 3D conviene usare equazioni parametriche, posto il centro della base del cono nell'origine degli assi cartesiani, il vertice del cono in $ (0,0,2) $, il faro in $ (-2,0,4) $ ed indicando con $ h $ la distanza dal vertice di una generica sezione orizzontale del cono ottieni.
superficie laterale del cono: $ (h/2 cos \phi, h/2 sin \phi, 2-h) $ con \( 0 \leq \phi < 2\pi, \space 0 \leq h \leq 2 \);
superficie del cono proiettante: $ (-2 + \lambda (h/2 cos \phi+2),\lambda h/2 sin \phi, 4-\lambda (h+2)) $;
che intersecato col piano $ z=0 $ cioè per $ \lambda= \frac 4 { h +2} $ fornisce:
$ ( \frac {4-2h} {h+2}+ \frac {2h} {h+2} cos \phi, \frac {2h} {h+2} sin \phi, 0) $.
Un fascio di circonferenze di centro $ (2 \frac {2-h} {2+h}, 0,0) $ e raggio $ \frac {2h} {h+2} $ con $ 0 <=h<=2 $.
Ciao
B.
Se invece dai per scontato che l'ombra di un disco su un piano parallelo sia sempre un cerchio, puoi considerare il piano passante per il faro e per l'asse del cono e proiettare segmenti orizzontali di questa sezione sul piano di base. Questi saranno diametri dei cerchi proiezioni delle sezioni orizzontali del cono e ti sarà facile notare che tali cerchi sono tutti tangenti alla medesima coppia di ratte.
Volendo una dimostrazione in geometria 3D conviene usare equazioni parametriche, posto il centro della base del cono nell'origine degli assi cartesiani, il vertice del cono in $ (0,0,2) $, il faro in $ (-2,0,4) $ ed indicando con $ h $ la distanza dal vertice di una generica sezione orizzontale del cono ottieni.
superficie laterale del cono: $ (h/2 cos \phi, h/2 sin \phi, 2-h) $ con \( 0 \leq \phi < 2\pi, \space 0 \leq h \leq 2 \);
superficie del cono proiettante: $ (-2 + \lambda (h/2 cos \phi+2),\lambda h/2 sin \phi, 4-\lambda (h+2)) $;
che intersecato col piano $ z=0 $ cioè per $ \lambda= \frac 4 { h +2} $ fornisce:
$ ( \frac {4-2h} {h+2}+ \frac {2h} {h+2} cos \phi, \frac {2h} {h+2} sin \phi, 0) $.
Un fascio di circonferenze di centro $ (2 \frac {2-h} {2+h}, 0,0) $ e raggio $ \frac {2h} {h+2} $ con $ 0 <=h<=2 $.
Ciao
B.
@Marmi
impegnato nello scrivere le malefiche formule (per darti la prima risposta ho usato il secondo dei metodi), mi son dimenticato della domanda che volevo farti.
I bocconiani nell'ombra contano anche la base del cono, o no?
Perché se si definisce 'ombra = parte del suolo non illuminata a causa del cono', la base bisognerebbe contarla..
Ciao
B.
impegnato nello scrivere le malefiche formule (per darti la prima risposta ho usato il secondo dei metodi), mi son dimenticato della domanda che volevo farti.
I bocconiani nell'ombra contano anche la base del cono, o no?
Perché se si definisce 'ombra = parte del suolo non illuminata a causa del cono', la base bisognerebbe contarla..
Ciao
B.
Grazie mille per i chiarimenti.
Secondo punto:
in base alla loro soluzione, la base del cono non viene considerata.
A mio parere, il testo del problema, identico a quello da me riportato, non chiarisce bene questo aspetto.
Ciao,
Marmi
Secondo punto:
in base alla loro soluzione, la base del cono non viene considerata.
A mio parere, il testo del problema, identico a quello da me riportato, non chiarisce bene questo aspetto.
Ciao,
Marmi
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