[olimpiadi della matematica] Faticosa evasione

[milizia96]

Salve, vi propongo un quesito tratto da una scorsa edizione delle olimpiadi di matematica.

Jack Disparrow con l’aiuto di Will è scappato dalla sua cella che si trova al piano più basso della torre-prigione e vuole salire al piano più alto, da dove spera di riuscire a fuggire. La prigione è composta da 222 piani, numerati da 1 a 222 e collegati da un certo numero di rampe di scale. Dal piano 1 al 2 c’è 1 sola rampa di scale con 1 solo gradino. Dal piano 2 al 3 ci sono 2 rampe con 1 e 2 scalini rispettivamente; dal piano 3 al 4, ci sono 3 rampe con 1, 2 e 3 scalini; e così via. Quanti scalini ci sono, in media, tra un piano e l’altro?

Buona risoluzione!

[_prime_number]

Propongo la mia soluzione:

Ci sono $221$ regioni "infrapiano". Nella regione tra il piano $n$ e $n+1$ (per $n=1,...221$) ci sono [tex]\displaystyle\sum_{j=1}^n j = \frac{n(n+1)}{2}[/tex] scalini.
Il totale degli scalini è dunque
[tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{221} \frac{n(n+1)}{2}=\frac{1}{2}\Big(\sum_{n=1}^{221} n^2 +\sum_{n=1}^{221} n\Big)=\frac{1}{2}\Big( \frac{221*222*443}{6} + \frac{221*222}{2}\Big)[/tex]
La media dovrebbe risultare
[tex]\displaystyle\frac{111*443}{6}+\frac{111}{2} =8251[/tex]

Is it right?

Paola

[milizia96]

Si la soluzione è quella.
E hai anche fatto il mio stesso ragionamento! XD