Olimpiadi 2004-2005
Si possono scaricare già le soluzioni delle olimpiadi di archimede all'indirizzo http://olimpiadi.ing.unipi.it/downloads ... de2004.zip .C'è la prima risposta che proprio nn mi convince...C'è il testo delle soluzioni che dice che la risposta è b
Risposte
Io sono sicurissimo di questo: la risposta al primo quesito è la E; la risposta al quesito 16 è: B
Ma è pur sempre un'equazione esponenziale e allora vale
la regola secondo cui la base della potenza dev'essere necessariamente positiva.
la regola secondo cui la base della potenza dev'essere necessariamente positiva.
quote:
Originally posted by denn
Per le equazioni logaritmiche nn devi verificare il dominio
Nel caso delle equazioni non si chiama dominio, ma condizioni di esistenza...
Ma stai scherzando???
1. E - nessuna delle precedenti
16. Il quesito parla di soluzioni intere relative.
Studiando il grafico della funzione devi richiedere che l'argomento sia positivo.
Si dovevano sostituire un po' di numeri interi nell'equazione e vedere se era verificata.
Io trovo le seguenti soluzioni
-2, -1, 0, 2
ab
16. Il quesito parla di soluzioni intere relative.
Studiando il grafico della funzione devi richiedere che l'argomento sia positivo.
Si dovevano sostituire un po' di numeri interi nell'equazione e vedere se era verificata.
Io trovo le seguenti soluzioni
-2, -1, 0, 2
ab
mi permetto di intervenire sul quesito n°1: attenzione! la domanda non è a quale insieme appartiene b, ma quale delle affermazione è certamente vera! nello specifico viene detto che b>=0, questo è certamente vero! infatti se non fosse "certamente vero" esisterebbero valori di b<0, ma questo non accade mai! quindi la risposta (B) è corretta!
saluti
il vecchio
saluti
il vecchio
Ho riflettuto a lungo sull'implicazione dell'esercizio ... e alla fine ho sbagliato.
Hai ragione tu.
P->B equivale a -B -> -P
Se b<0 allora è falso che b=\/a^2+1
In altre parole
b=\/a^2+1 -> b>=1 -> b>=0
ab
Hai ragione tu.
P->B equivale a -B -> -P
Se b<0 allora è falso che b=\/a^2+1
In altre parole
b=\/a^2+1 -> b>=1 -> b>=0
ab
Io non capisco xkè la base in un'equazione esponenziale deve essere sempre positiva..Allora una funzione del tipo:
(-x^2+x-1)^(x+2)=f(x)
non esistono?
(-x^2+x-1)^(x+2)=f(x)
non esistono?
Cmq la 1° nella sua stupidità ha fatto sbagliare a molti...
Non sono ancora d'accordo: la risposta alla prima
domanda è la E; b è solo maggiore di zero, non maggiore
o uguale a zero; la risposta al sedicesimo quesito è
secondo me sempre la B perché la base di una funzione
esponenziale non può essere negativa; in questo caso,
infatti, per x = 0, la base è -1 e non va bene!!
Tra l'altro la soluzione x = 0 (voi dite che esiste
ma io continuo a non crederci) neanche si poteva ricavare
facilmente, ma solo ad intuito! Infatti io l'equazione esponenziale
l'ho risolta portando tutto in base e (numero di Nepero), come
si conviene fare anche nel calcolo dei limiti di funzioni esponenziali.
Posto qui la mia soluzione completa del quesito 16.
(x² - x - 1)^(x + 2) = 1
e^ln((x² - x - 1)^(x + 2)) = e^0
e^((x + 2)*ln(x² - x - 1)) = e^0
Eguagliando i due esponenti si ha:
(x + 2)*ln(x² - x - 1) = 0
Per la legge di annullamento del prodotto si ha:
x + 2 = 0 ==> x = -2
ln(x² - x - 1) = 0 ==> x² - x - 1 = e^0 ==> x² - x - 2 = 0 ==> x = -1 V x = 2
domanda è la E; b è solo maggiore di zero, non maggiore
o uguale a zero; la risposta al sedicesimo quesito è
secondo me sempre la B perché la base di una funzione
esponenziale non può essere negativa; in questo caso,
infatti, per x = 0, la base è -1 e non va bene!!
Tra l'altro la soluzione x = 0 (voi dite che esiste
ma io continuo a non crederci) neanche si poteva ricavare
facilmente, ma solo ad intuito! Infatti io l'equazione esponenziale
l'ho risolta portando tutto in base e (numero di Nepero), come
si conviene fare anche nel calcolo dei limiti di funzioni esponenziali.
Posto qui la mia soluzione completa del quesito 16.
(x² - x - 1)^(x + 2) = 1
e^ln((x² - x - 1)^(x + 2)) = e^0
e^((x + 2)*ln(x² - x - 1)) = e^0
Eguagliando i due esponenti si ha:
(x + 2)*ln(x² - x - 1) = 0
Per la legge di annullamento del prodotto si ha:
x + 2 = 0 ==> x = -2
ln(x² - x - 1) = 0 ==> x² - x - 1 = e^0 ==> x² - x - 2 = 0 ==> x = -1 V x = 2
Il motivo per cui la base (reale) di una potenza
ad esponente reale deve essere positiva e' che
altrimenti ,in certi casi, la medesima potenza potrebbe
non avere significato.
Per esempio,nel caso proposto da denn,se si prende
x=sqrt(2) si avra' come risultato una potenza a base
negativa e ad esponente irrazionale.Non essendo tale
esponente ne' razionale,ne' pari, ne' dispari , quale valore
attribuire allora al calcolo?
karl.
ad esponente reale deve essere positiva e' che
altrimenti ,in certi casi, la medesima potenza potrebbe
non avere significato.
Per esempio,nel caso proposto da denn,se si prende
x=sqrt(2) si avra' come risultato una potenza a base
negativa e ad esponente irrazionale.Non essendo tale
esponente ne' razionale,ne' pari, ne' dispari , quale valore
attribuire allora al calcolo?
karl.
fireball, sei fuori strada: se b>_0, non è detto che b=0, per motivi che ti ho spiegato nel topic precedente.
Se ci fosse stata anche la risposta b>_1 la domanda nn sarebbe stata valida, perchè avrebbe avuto 2 soluzioni valide
Per quanto riguarda la terribile funzione esponenziale, hai sbagliato a fare il grafico, perchè x E' UN NUMERO INTERO RELATIVO, e dunque la funzione è definita per OGNI valore di x, purchè sia un intero relativo.
Convinciti sostituendo sempicemente: lo 0 in effetti verifica l'equazione.
Inoltre si trova abbastanza facilmente: a^b=1 se
- l'esponente è 0 e la base diversa da 0 (da cui x=-2) oppure
- la base è 1 (x=2 oppure x=-1) oppure
- la base è -1 elevato ad un esponente pari (x=0)
Se poi agli interi passi ai reali, perdi la l'ultima possibilità, e quindi l'ultima soluzione: per i reali a^b=e^(b*ln(a)). Nell'ambito degli interi nn c'è nessun bisogno che la base sia positiva, purchè l'esponente sia intero. I problemi te li fai se l'esponente è razionale nn intero. Concorderai che (-1)^2=1, e che posso disegnare il grafico di (-1)^x se x è INTERO
Se ci fosse stata anche la risposta b>_1 la domanda nn sarebbe stata valida, perchè avrebbe avuto 2 soluzioni valide
Per quanto riguarda la terribile funzione esponenziale, hai sbagliato a fare il grafico, perchè x E' UN NUMERO INTERO RELATIVO, e dunque la funzione è definita per OGNI valore di x, purchè sia un intero relativo.
Convinciti sostituendo sempicemente: lo 0 in effetti verifica l'equazione.
Inoltre si trova abbastanza facilmente: a^b=1 se
- l'esponente è 0 e la base diversa da 0 (da cui x=-2) oppure
- la base è 1 (x=2 oppure x=-1) oppure
- la base è -1 elevato ad un esponente pari (x=0)
Se poi agli interi passi ai reali, perdi la l'ultima possibilità, e quindi l'ultima soluzione: per i reali a^b=e^(b*ln(a)). Nell'ambito degli interi nn c'è nessun bisogno che la base sia positiva, purchè l'esponente sia intero. I problemi te li fai se l'esponente è razionale nn intero. Concorderai che (-1)^2=1, e che posso disegnare il grafico di (-1)^x se x è INTERO
premesso che non mi interessa molto entrare in questa discussione visto che ormai sono fuori dal liceo, cmq la risposta alla 1 è b>=0 per un fatto molto semplice, senza neanche pensare troppo all'esercizio.
b>0 implica b>=0
perciò siccome solo una delle due risposte può essere vera quella vera deve essere b>=0. in effetti se si considerano i complessi è giusto così, se non si considerano i complessi ci sono 2 risposte esatte e l'esercizio si annulla.
b>0 implica b>=0
perciò siccome solo una delle due risposte può essere vera quella vera deve essere b>=0. in effetti se si considerano i complessi è giusto così, se non si considerano i complessi ci sono 2 risposte esatte e l'esercizio si annulla.
capito fire????? se l'esponente è pari, la base può essere come vuole!!!
Sentite, lasciamo perdere... Com'è andata è andata, è un gioco!
Per Andrea: perché dici "se l'esponente è pari la base può essere come vuole"?
Lo so bene questo! Solo che in questo caso l'esponente non era pari,
ma era x + 2 !! E allora come fa la base ad essere come vuole??
L'incognita compariva sia alla base che all'esponente!! E inoltre la
soluzione x = 0 si poteva solo ricavare sostituendo 0 al posto di x
nell'equazione e verificando quindi quest'ultima. Un procedimento
del tutto intuitivo, perché matematicamente non sarei proprio capace di
trovare la soluzione x = 0 ...
Per Andrea: perché dici "se l'esponente è pari la base può essere come vuole"?
Lo so bene questo! Solo che in questo caso l'esponente non era pari,
ma era x + 2 !! E allora come fa la base ad essere come vuole??
L'incognita compariva sia alla base che all'esponente!! E inoltre la
soluzione x = 0 si poteva solo ricavare sostituendo 0 al posto di x
nell'equazione e verificando quindi quest'ultima. Un procedimento
del tutto intuitivo, perché matematicamente non sarei proprio capace di
trovare la soluzione x = 0 ...
"matematicamente" ci puoi arrivare elencando i casi in cui in Z a^b=1
Che cosa significa matematicamente? Con i metodi dell'analisi? ma l'analisi è solo una parte della matematica.
Non esistono procedimenti "standard" per la risoluzione di questi quesiti.
In particolare, ti calcoli per quali valori di x la base è uguale a -1 e verifichi se l'esponente è pari o meno. Se lo è, bene, hai trovato una soluzione in più; se no, x non è soluzione
Che cosa significa matematicamente? Con i metodi dell'analisi? ma l'analisi è solo una parte della matematica.
Non esistono procedimenti "standard" per la risoluzione di questi quesiti.
In particolare, ti calcoli per quali valori di x la base è uguale a -1 e verifichi se l'esponente è pari o meno. Se lo è, bene, hai trovato una soluzione in più; se no, x non è soluzione
sottoscrivo quanto detto da legolas...è quello l'unico metodo matematico per la risloluzione del quesito...
cmq per la cronaca mi sono fatto la gara...in un'ora e mezza avrei totalizzato 115 punti!!!!! le due che ho sbagliato è perchè non so leggere!!! [;)]
...c'è solo un piccolo problema...che non faccio + il quinto!!!!!!!!!!!!!!!! che rabbia...cmq mi sembravano molto più semplici degli anni passati...
cmq per la cronaca mi sono fatto la gara...in un'ora e mezza avrei totalizzato 115 punti!!!!! le due che ho sbagliato è perchè non so leggere!!! [;)]
...c'è solo un piccolo problema...che non faccio + il quinto!!!!!!!!!!!!!!!! che rabbia...cmq mi sembravano molto più semplici degli anni passati...
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