Numero massimo di sudoku completi
Mi stavo domandando se è possibile calcolare il numero massimo di sudoku (con tutte le caselle piene) possibili. Io ho ragionato così:
partendo da una qualsiasi configurazione completa di sudoku ho pensato: le prime tre colonne si possono scambiare tra sè e non con altre, le seconde tre colonne si possono scambiare tra sè e non con altre, le terze tre colonne si possono scambiare tra sè e non con altre, e analogamente con le tre triple di righe: dunque le possibili combinazioni sono 6x6x6x6x6x6= 46 mila circa (6 sono le permutazioni di tre simboli)? Naturalmente il calcolo non tiene conto delle possibili sostituzioni "letterali" tra i simboli, ma questa evenienza è significativa solo dal punto di vista estetico, credo.
C'è qualcosa nel mio ragionamento di sbagliato?
partendo da una qualsiasi configurazione completa di sudoku ho pensato: le prime tre colonne si possono scambiare tra sè e non con altre, le seconde tre colonne si possono scambiare tra sè e non con altre, le terze tre colonne si possono scambiare tra sè e non con altre, e analogamente con le tre triple di righe: dunque le possibili combinazioni sono 6x6x6x6x6x6= 46 mila circa (6 sono le permutazioni di tre simboli)? Naturalmente il calcolo non tiene conto delle possibili sostituzioni "letterali" tra i simboli, ma questa evenienza è significativa solo dal punto di vista estetico, credo.
C'è qualcosa nel mio ragionamento di sbagliato?
Risposte
Ciao, io non ho mai fatto calcolo combinatorio, quindi non so dirti esattamente dove hai sbagliato, però pensa a un quadrato 3x3, in esso i numeri si possono disporre in $9!$ modi (362880)...Inoltre immagina di considerare tre quadrati 3x3 (quello in alto a destra, quello centrale e quello in basso a sinistra), essi direi che possono variare indipendentemente uno dall'altro, le soluzioni allora dovrebbero arrivare a $(9!)^3$, un numero enorme...non so se il mio ragionamento sia giusto, di sicuro la prima parte lo è!
Ora aspettiamo qualcuno che ne sa!
Ora aspettiamo qualcuno che ne sa!
Il nove fattoriale è corretto ma è inutile computarlo perché se tu prendi un sudoku risolto e scambi due simboli fra di loro in tutte le posizioni dove sono presenti ottieni lo "stesso" sudoku, questo perché sui simboli non si fanno operazioni aritmetiche ma solo logiche, in sostanza non conta il valore numerico ma solo le diversità dei simboli. Sul fatto di poter combinare in qualsiasi modo i tre quadrati ti faccio un esempio. Il sudoku incompleto che segue è un sudoku che è corretto rispetto alle regole di partenza ma è impossibile da risolvere perché la presenza del numero 7 nel quadrato centrale e nel quadrato a destra di quello centrale esclude la possibilità di poter piazzare un 7 nel quadrato a sinistra di quello centrale violando la regola di base. Questo è un esempio, di conclusioni non saprei trarne però.
1 2 3 x x x x x x
4 5 6 x x x x x x
7 8 9 x x x x x x
5 1 4 1 2 3 x x x
x x x 4 5 6 x 7 x
x x x 7 8 9 x x x
x x x x x x 1 2 3
x x x x x x 4 5 6
x x x x x x 7 8 9
1 2 3 x x x x x x
4 5 6 x x x x x x
7 8 9 x x x x x x
5 1 4 1 2 3 x x x
x x x 4 5 6 x 7 x
x x x 7 8 9 x x x
x x x x x x 1 2 3
x x x x x x 4 5 6
x x x x x x 7 8 9
"gokutecno":
Il sudoku incompleto che segue è un sudoku che è corretto rispetto alle regole di partenza ma è impossibile da risolvere perché la presenza del numero 7 nel quadrato centrale e nel quadrato a destra di quello centrale esclude la possibilità di poter piazzare un 7 nel quadrato a sinistra di quello centrale violando la regola di base. Questo è un esempio, di conclusioni non saprei trarne però.
Basta considerare che hai messo due "1" in riga 4, per determinare che è imposs.
"gokutecno":
Il nove fattoriale è corretto ma è inutile computarlo perché se tu prendi un sudoku risolto e scambi due simboli fra di loro in tutte le posizioni dove sono presenti ottieni lo "stesso" sudoku, questo perché sui simboli non si fanno operazioni aritmetiche ma solo logiche, in sostanza non conta il valore numerico ma solo le diversità dei simboli.
E' vero che le 9 diversità non sono aritmetiche, ma semplicemente diversità, ma perchè non intendi considerare anche le varie disposizioni ?
Il calcolo esatto non l'ho mai fatto, e tempo fa ricercai sulla rete se la soluzione era già stata trovata... ma non trovai nulla in merito.
Ok ora ho capito cosa intendi per sostituzioni generali tra simboli...ti chiedo scusa ma non avevo ben capito...
Riguardo alla parte dei tre quadrati credo che dati SOLO 27 cifre presenti nei tre quadrati detti le cifre si comunque possibile ricostruire almeno un sudoku completo corretto (credo). Ma questo poco importa perchè comunque te cercavi una soluzione che non comprendesse sudoku in cui c'è solo una sostituzione di cifre.
Secondo me il tuo ragionamento è corretto, ma è limitato dal fatto che eventuali scambi tra quadrati 3x3 non sarebbero mai conteggiati, se ciò che dico non è una belinata (cosa altamente probabile), le soluzioni dovrebbero allora essere $9!\cdot6^6$.
Riguardo alla parte dei tre quadrati credo che dati SOLO 27 cifre presenti nei tre quadrati detti le cifre si comunque possibile ricostruire almeno un sudoku completo corretto (credo). Ma questo poco importa perchè comunque te cercavi una soluzione che non comprendesse sudoku in cui c'è solo una sostituzione di cifre.
Secondo me il tuo ragionamento è corretto, ma è limitato dal fatto che eventuali scambi tra quadrati 3x3 non sarebbero mai conteggiati, se ciò che dico non è una belinata (cosa altamente probabile), le soluzioni dovrebbero allora essere $9!\cdot6^6$.
"gokutecno":
1 2 3 x x x x x x
4 5 6 x x x x x x
7 8 9 x x x x x x
5 1 4 1 2 3 x x x
x x x 4 5 6 x 7 x
x x x 7 8 9 x x x
x x x x x x 1 2 3
x x x x x x 4 5 6
x x x x x x 7 8 9
Ho sbagliato, volevo indicare questo:
1 2 3 x x x x x x
4 5 6 x x x x x x
7 8 9 x x x x x x
5 6 4 1 2 3 x x x
x x x 4 5 6 x 7 x
x x x 7 8 9 x x x
x x x x x x 1 2 3
x x x x x x 4 5 6
x x x x x x 7 8 9
"Umby":
E' vero che le 9 diversità non sono aritmetiche, ma semplicemente diversità, ma perchè non intendi considerare anche le varie disposizioni ?
Perché dal punto di vista del gioco i simboli non hanno significato particolare, se al posto di tutti gli 1 ci sono tutti 9 è lo stesso, se ci sono un triangolo un quadrato un pentagono un esagono ecc al posto di 123456789 non cambia il gioco.
"Tul":
Secondo me il tuo ragionamento è corretto, ma è limitato dal fatto che eventuali scambi tra quadrati 3x3 non sarebbero mai conteggiati
Non li ho conteggiati perché appena prendi un elemento da un quadrato e lo metti in un altro si viola la regola di base del sudoku dell'unicità dei simboli in un quadrato.
Tul, il risultato che mi aspetto è anche per me nove fattoriale per sei alla sesta.
Adesso ho provato a fare un altro ragionamento:
partiamo da una tabella di sudoku vuota, e consideriamo il quadrato in alto a sinistra: se è vuoto un simbolo si può inserire in nove (9)possibili caselle, quindi ne scegliamo una e in corrispondenza di questa tracciamo una linea orizzontale e verticale (servirà per escludere le posizioni non valide per posizionare lo stesso simbolo negli altri quadrati ).
Consideriamo adesso il quadrato centrale: lo stesso simbolo si può piazzare in qualsiasi posizione di quel quadrato (9).{quindi siamo a 9x9.
Consideriamo il quadrato in basso a destra:ancora nove posizione possibili.Siamo a 9x9x9 totali.
Consideriamo il quadrato al centro-sinistra:adesso le possibilità sono 4: siamo a 9x9x9x4.
Procedendo con gli altri quadrati otteniamo infine 9x9x9x4x2x2x2x2x1=ancora 46656.
Io credo che qualsiasi sia l'ordine con cui si considerino i quadrati i fattori potrebbero cambiare ma il prodotto dovrebbe essere sempre lo stesso.
Quindi 46656 è certamente un numero significativo: ma cosa significa? Certamente è il numero di possibili disposizioni diverse di un solo simbolo nel sudoku completo. Adesso bisognerebbe capire se questo numero è anche il numero di sudoku completi (escluse le sostituzioni letterali dei simboli) oppure no.
Hai ragione, mi ero fatto suggestionare da quel 9 fattoriale...
Il tuo ragionamento direi che non fa una piega, però quel 46656 direi che visto come lo si è ottenuto, è il numero delle disposizioni possibili di UN simbolo, bisognerebbe allora provare ad introdurre un altro simbolo, solo che allora il calcolo diventerebbe troppo complicato, perchè ci sono varie possibilità di inserirlo...giusto?
Il tuo ragionamento direi che non fa una piega, però quel 46656 direi che visto come lo si è ottenuto, è il numero delle disposizioni possibili di UN simbolo, bisognerebbe allora provare ad introdurre un altro simbolo, solo che allora il calcolo diventerebbe troppo complicato, perchè ci sono varie possibilità di inserirlo...giusto?
"gokutecno":
Perché dal punto di vista del gioco i simboli non hanno significato particolare, se al posto di tutti gli 1 ci sono tutti 9 è lo stesso, se ci sono un triangolo un quadrato un pentagono un esagono ecc al posto di 123456789 non cambia il gioco.
Il concetto era chiaro.
E' lo stesso concetto tra la differenza tra combinazioni e disposizioni.
Cmq credo che nel mio ragionamento ci sia qualche errore, perché ad esempio, si potrebbero scambiare anche i quadrati presi a 3 a 3: ad esempio il primo il secondo e il terzo quadrato con il quarto quinto e sesto quadrato. E quindi le combinazioni salirebbero a sei elevato alla ottava, ovvero circa 16 milioni.
Per avere una soluzione univoca ci vuole uno studioso di calcolo combinatorio, speriamo che qualcuno del forum sul calcolo combinatorio venga a farsi un giro nel forum dei giochi. (Mi domando se forse era meglio postarlo là)
Per avere una soluzione univoca ci vuole uno studioso di calcolo combinatorio, speriamo che qualcuno del forum sul calcolo combinatorio venga a farsi un giro nel forum dei giochi. (Mi domando se forse era meglio postarlo là)
"gokutecno":
si potrebbero scambiare anche i quadrati presi a 3 a 3: ad esempio il primo il secondo e il terzo quadrato con il quarto quinto e sesto quadrato. E quindi le combinazioni salirebbero a sei elevato alla ottava, ovvero circa 16 milioni.
Siamo sicuri che tale evenienza non sia già compresa nel ragionamento di prima? Dopotutto una volta fatto uno di quegli scambi che dici te si ottiene una disposizione che era già tranquillamente ottenibile col primo metodo (quello 9x9x9x4x4x2x2x1)...
Bhé questo non lo so. Però soffermando sul ragionamento del 9x9x9x... per contare tutti i possibili sudoku forse si dovrebbe continuare con gli altri otto simboli e fare tutti i prodotti. Resto comunque nel campo delle ipotesi.
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