Numeri sinistri

[carlo232]

Fissato una base intera $b>0$ dico che $m$ è sinistro di $n$ se per qualche intero $k>0$ e $h
$sum_(a in A) 1/a<=1+1/2+1/3+...+1/(b-1)$

[carlo232]

Quoto per evitare che anneghi

[Aethelmyth]

Un intero per essere sinistro in base $b$ di un numero non dovrebbe essere necessariamente $ Se non è esatto attendo delucidazioni per procedere

[carlo232]

"Aethelmyth":Un intero per essere sinistro in base $b$ di un numero non dovrebbe essere necessariamente $

No, stiamo in base $10$, $13$ è sinistro di $137456$ eppure non si ha $13<10$.

In tal caso un insieme $A$ di interi non sinistri sarebbe un insieme con poche limitazioni.

Beh, devi necessariamente formalizzare... non siamo mica politici

[Aethelmyth]

"carlo23":[quote="Aethelmyth"]Un intero per essere sinistro in base $b$ di un numero non dovrebbe essere necessariamente $

No, stiamo in base $10$, $13$ è sinistro di $137456$ eppure non si ha $13<10$.
[/quote]

Vero, pensavo a $m$ come a una cifra

"carlo23":[quote="Aethelmyth"] In tal caso un insieme $A$ di interi non sinistri sarebbe un insieme con poche limitazioni.

Beh, devi necessariamente formalizzare... non siamo mica politici [/quote]


Allora con queste nuove "scoperte" proseguo con considerazioni, anche inutili. Mi sembra che più cifre hanno gli elementi di $A$, più l'insieme contiene un numero alto di elementi. E diciamo che credo sia possibile stabilire questo numero a seconda del numero di cifre degli elementi di $A$, supponendo che tutti gli elementi abbiano lo stesso numero $n$ di cifre, come Disposizioni con Ripetizione di $b$ elementi classe $n$ = $b^n$ meno però tutte le combinazioni con lo 0 davanti quindi $b^n-b^(n-1)$. Sembra ovvio infatti affermare che, per un insieme $A$ i cui elementi siano tutti i possibili $q$ tali che $0
Sono un po' assonnato e devo riprendere la mano con la matematica quindi continuo dopo

[carlo232]

"Aethelmyth":

Senti, io ti suggerisco, pensa così: se $a$ appartiene a $A$ allora tutti i numeri sinistri a $a$, che sono ... , non appartengono ad $A$, cerca di fare qualche stima...

[Aethelmyth]

Allora sicuramente i sinistri di $a$ sono pari al suo numero $n$ di cifre meno uno e sono tutti inferiori di $a$. Se consideriamo tutti i possibili numeri $a in A$ di $n$ cifre, sicuramente avranno dei sinistri in comune ma non saranno mai sinistri tra loro (in quanto per esserlo dovrebbero coincidere tra loro), e sicuramente avranno per sinistri tutti i numeri esistenti con meno di $n$ cifre (perchè le Disposizioni con Ripetizione [che da adesso in poi chiamerò DR] di una classe comprendono anche tutte quelle di classe inferiore, considerandole a partire da sinistra). Possiamo anche affermare che non è possibile trovare numeri con più di $n$ cifre che non siano sinistri di un elemento $a in A$ perchè tutte le DR di classe $n$ sono ricomprese in quelle di classe maggiore. (spero che non appaiano troppo come "verità di fede" ma non so se sono in grado di dimostrarle per bene )
Quindi mi sento di poter riconfermare quanto scritto sopra. Ora le $sum_(a in A) 1/a$ possiamo iniziare a considerarle per tutti gli $a$ di una cifra ed abbiamo $1+1/2+1/3+1/4+...+1/(b-1)<=1+1/2+1/3+1/4+...+1/(b-1)$ che è vera. Per gli $a$ di 2 cifre avremo $sum_(i=10)^(10+b-1) 1/i+sum_(i=20)^(20+b-1) 1/i+...+sum_(i=10(b-1))^(10(b-1)+b-1) 1/i<=sum_(i=1)^(b-1)1/i$. Prese le sommatorie singolarmente però ci accorgiamo che, se $1/10n+1/10n+...+1/10n$ n volte è uguale a $1/n$, sicuramente sono più piccole di $1/n$ con $1
Mi piacerebbe poter scrivere qualcosa di più tecnico e meno intuitivo

[carlo232]

"Aethelmyth":Mi piacerebbe poter scrivere qualcosa di più tecnico e meno intuitivo

In effetti non è molto comprensibile, però sei sulla strada giusta, Definisci meglio le classi (io direi insiemi) in cui ripartisci $A$, scrivendone la rappresentazione intensiva.

[Aethelmyth]

Buhuuuu stavo rispondendo e mi si è spento il pc ... di fondamentale avevo definito i sinistri di un $a=m_1b^(n-1)+m_2b^(n-2)+...+m_(n-1)b^1+m_nb^0$ fissato, di $n$ cifre base $b$, come tutti le possibili somme di quel tipo diminuendo tutti i gradi della base $b$ di un certo 1

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[carlo232]

"Aethelmyth":Buhuuuu stavo rispondendo e mi si è spento il pc ... di fondamentale avevo definito i sinistri di un $a=m_1b^(n-1)+m_2b^(n-2)+...+m_(n-1)b^1+m_nb^0$ fissato, di $n$ cifre base $b$, come tutti le possibili somme di quel tipo diminuendo tutti i gradi della base $b$ di un certo 1

Non è necessario che tu definisca i sinistri... l'ho già fatto io.

"Carlo23":
Fissato una base intera $b>0$ dico che $m$ è sinistro di $n$ se per qualche intero $k>0$ e $h

Piuttosto, definiamo gli insiemi $I_{n,k}={a: a \in A \, \wedge \, a \in [b^{n-1}k,b^{n-1}(k+1)-1] }$. Ora sapendo che $A$ non contiene interi sinistri tra loro puoi dedurre che se $a in A$ allora non è $ab^k+h in A$, se anche $a in I_{p,q}$ allora $ab^k+h in I...$

[Aethelmyth]

"carlo23":[quote="Aethelmyth"]Buhuuuu stavo rispondendo e mi si è spento il pc ... di fondamentale avevo definito i sinistri di un $a=m_1b^(n-1)+m_2b^(n-2)+...+m_(n-1)b^1+m_nb^0$ fissato, di $n$ cifre base $b$, come tutti le possibili somme di quel tipo diminuendo tutti i gradi della base $b$ di un certo 1

Non è necessario che tu definisca i sinistri... l'ho già fatto io.
[/quote]
Però alla mia definizione avevo ricondotto le classi. Cmq appena ho un po' di tempo mi ci rimetto

[.Pupe.1]

Ciao, causa una pausa pranzo particolarmente noiosa ho messo per la prima volta il naso fuori dal forum di fisica e mi sono imbattuto in questa dimostrazione, che non so perchè mi ha incuriosito. Sono abbastanza arrugginito in dimostrazioni matematiche, ma butto la due considerazioni:

Se lavoro in base b ho ovviamente b interi < b che saranno fra loro non sinistri. Qualunque altro numero avra' in uno di questi un suo sinistro. Se sommo gli inversi di questi numeri la tua formula è vera nel caso particolare dell'uguaglianza fra i termini.
Se riesco a mostrare che togliendo un addendo (1/c) alla sommatoria e sostituendolo con una sommatoria di tutti i termini

$sum_h=0^(b-1) 1/(b c + h) $

ottengo qualcosa di piu' piccolo, ovvero che:

$1/c > sum_h=0^(b-1) 1/(b c + h) $ (1)

sono a buon punto, dato che a sua volta ogni termine dell'ultima sommatoria è maggiorato per lo stesso motivo da una sommatoria dello stesso tipo, ad es. il termine c' dato da:

$c'=b c + h'$

sarà maggiorato da:

$sum_h=0^(b-1) 1/(b (b c +h') + h) $


Detto questo:

$sum_h=0^(b-1) 1/(b c + h) > sum_h=0^(b-1) (b c -h)/(b^2 c^2 - h^2) > sum_h=0^(b-1) (b c -h)/(b^2 c^2) > 1/k - sum_h=0^(b-1) h/(b^2 c^2)$

quindi la (1) è vera.

Considerato che sono un po' arrugginito in per quanto riguarda questo tipo di cose potrei aver detto decine di castronerie, ma non ho il tempo di controllare perchè il lavoro mi chiama.

P.

[.Pupe.1]

mi pare chiaro che non sono capace di scrivere gli estremi della sommatoria in modo corretto.
Quella schifezza che vedete sta a indicare sempre la sommatoria con h che va da 0 a (b-1)

P.

[.Pupe.1]

mi pare altrettanto chiaro che l'ultima uguaglianza contiene un $1/c$ al posto di $1/k$

ops...

[.Pupe.1]

Ok, l'ultima serie di disuguaglianze non prova quello che volevo provare. La maggiorazione giusta è cosi' (la sommatoria per h=0..(b-1):

$sum 1/(b c + h) < sum_h=0^(b-1) 1/(b c) = 1/c$

Quindi tra il primo termine e l'ultimo vale la disuguaglianza stretta.

P.