Numeri "particolari"

[Drazen77]

Esistono due numeri di tre cifre (la cifra delle centinaia non è 0) che se elevati al quadrato, al cubo o a qualsiasi potenza superiore intera, terminano ancora con le medesime tre cifre.
Uno di questi è $376$:
$376^2=141.376$
$376^3=53.157.376$
$376^4=19.987.173.376$
e così via.

Qual è l'altro numero?

[axpgn]

È un multiplo di cinque ...

[veciorik]

il multiplo dispari di 125 uguale a 1 + un multiplo di 8

[Gi81]

In pratica bisogna risolvere:
\(\displaystyle \begin{cases} x^2 \equiv x (\mod 1000 )\\
x \in \mathbb{N}\\
x \geq 100\\
x \leq 999 \end{cases} (*)\)

Equivalentemente, $x (x-1)$ deve essere multiplo di $1000$.

Siccome $x$ e $x-1$ sono coprimi e di parità diversa, considerando che \( 1000 = 8 \cdot 125 \), si avrà
\(\displaystyle \begin{cases} x= 8a \\ x-1= 125 b \end{cases}\) oppure \(\displaystyle \begin{cases} x= 125 c \\ x-1= 8 d \end{cases}\) per opportuni $a,b,c,d in NN$.

Tenendo presente che $100<=x<=999$,
nel primo caso si ha $8a = x = 125 b +1 in {126, 251, 376, 501, 626, 751, 876}$
e tra questi l'unico multiplo di $8$ è $376$.

nel secondo caso si ha $8d = x -1= 125 c -1 in {124, 249, 374, 499, 624, 749, 874}$
e tra questi l'unico multiplo di $8$ è $624$.

Quindi $x = 376$ oppure $x = 625$.

Una volta risolto, le soluzioni di \(\displaystyle (*) \) sono anche soluzioni di \(\displaystyle x^3 \equiv x (\mod 1000) \),
in quanto \(\displaystyle x^3 = x^2 \cdot x \equiv x \cdot x (\mod 1000) = x^2 \equiv x (\mod 1000) \)