Numeri primi di Sophie Germain
Si definisce numero primo di Sophie Germain un numero primo $p$ tale che anche $2p+1$ è un numero primo
Dimostrare che se $p$ è un numero primo di Sophie Germain allora non esistono tre numeri interi $x,y,z>0$ tali che
$x^p+y^p=z^p$
e che $2p+1$ non divide il prodotto $xyz$.
Ciao!
Dimostrare che se $p$ è un numero primo di Sophie Germain allora non esistono tre numeri interi $x,y,z>0$ tali che
$x^p+y^p=z^p$
e che $2p+1$ non divide il prodotto $xyz$.
Ciao!
Risposte
La mia aritmetica modulare è un po' arrugginita, ma vediamo cosa si può fare...
Proviamo a dimostrarla per assurdo.
Supponiamo che esista una terna di numeri interi x,y,z (1)
$x^p+y^p=z^p$
tale che 2p+1 non divide nè x, nè y, nè z.
Poniamo $2p+1=t$ ed eleviamo al quadrato ambo i membri dell'equazione (1)
$x^p+y^p=z^p$ ---> $x^(2p)+y^(2p)+2x^p*y^p=z^(2p)$
Per il teorema di Eulero, visto che t e z sono coprimi ( come anche t e x e t e y) si ha :
$z^(2p)=z^(t-1)= 1 mod t$
E così la (1) diventa :
$1 mod t + 1 mod t +2x^p*y^p=1 mod 1$
E quindi la (2) :
$2x^p*y^p=-1modt$
Scrivendo la (1), poi, alternativamente, come
$(z^p-y^p)^2=x^(2p)$
e
$(z^p-x^p)^2=y^(2p)$
Si ottengono rispettivamente, per il teorema di Eulero,la (3) e la (4):
$2(xz)^p= 1 mod t$
e
$2(xy)^p= 1 mod t$
Combinando poi la (2) con la (3) e con la (4), si hanno :
$2x^p(y^p+z^p)= 0 mod t$
e
$2y^p(x^p+z^p)=0 mod t)$
Ora, se dividiamo rispettivamente le due equazioni precedenti, rispettivamente per $2x^p$ e per $2y^p$, e sommiamo membro a membro troveremo :
$x^p+y^p+2z^p=0 mod t$
che per l'equazione (1), può essere riscritta come :
$z^p+2z^p=0modt$ --> $3z^p=0modt$
Ma quest'ultima equazione ci dice che z è divisibile per t.E questo è falso per definizione (visto che xyz non è divisibile per t), pertanto è falsa la tesi.Dunque :
$x^p+y^p=z^p$
con x,y,z interi positivi non è valida.
Dove ho sbagliato ? E soprattutto : ho l'impressione che esista una via più facile di questa...
P.S. Un solo dubbio : P=1 o P=2, sono primi di Sophie-Germain, ma ciononostante l'ultimo teorema di Fermat ci dice che l'equazione è impossibile con gli interi, con p>2.Dunque, questo risultato di Sophie Germain dovrebbe valere solo per p>2. Giusto ?
Proviamo a dimostrarla per assurdo.
Supponiamo che esista una terna di numeri interi x,y,z (1)
$x^p+y^p=z^p$
tale che 2p+1 non divide nè x, nè y, nè z.
Poniamo $2p+1=t$ ed eleviamo al quadrato ambo i membri dell'equazione (1)
$x^p+y^p=z^p$ ---> $x^(2p)+y^(2p)+2x^p*y^p=z^(2p)$
Per il teorema di Eulero, visto che t e z sono coprimi ( come anche t e x e t e y) si ha :
$z^(2p)=z^(t-1)= 1 mod t$
E così la (1) diventa :
$1 mod t + 1 mod t +2x^p*y^p=1 mod 1$
E quindi la (2) :
$2x^p*y^p=-1modt$
Scrivendo la (1), poi, alternativamente, come
$(z^p-y^p)^2=x^(2p)$
e
$(z^p-x^p)^2=y^(2p)$
Si ottengono rispettivamente, per il teorema di Eulero,la (3) e la (4):
$2(xz)^p= 1 mod t$
e
$2(xy)^p= 1 mod t$
Combinando poi la (2) con la (3) e con la (4), si hanno :
$2x^p(y^p+z^p)= 0 mod t$
e
$2y^p(x^p+z^p)=0 mod t)$
Ora, se dividiamo rispettivamente le due equazioni precedenti, rispettivamente per $2x^p$ e per $2y^p$, e sommiamo membro a membro troveremo :
$x^p+y^p+2z^p=0 mod t$
che per l'equazione (1), può essere riscritta come :
$z^p+2z^p=0modt$ --> $3z^p=0modt$
Ma quest'ultima equazione ci dice che z è divisibile per t.E questo è falso per definizione (visto che xyz non è divisibile per t), pertanto è falsa la tesi.Dunque :
$x^p+y^p=z^p$
con x,y,z interi positivi non è valida.
Dove ho sbagliato ? E soprattutto : ho l'impressione che esista una via più facile di questa...
P.S. Un solo dubbio : P=1 o P=2, sono primi di Sophie-Germain, ma ciononostante l'ultimo teorema di Fermat ci dice che l'equazione è impossibile con gli interi, con p>2.Dunque, questo risultato di Sophie Germain dovrebbe valere solo per p>2. Giusto ?
Molto bravo!:D
Anche io quando ho dimostrato questo teorema ho fatto più o meno come te, anzi in modo più complicato, comunque su Wikipedia puoi trovare la mia dimostrazione che poi sono riusvito a semplificare (scritta quando ero Wikipediano) sotto la voce numero primo di Sophie Germain.
PS 1 non è un numero primo!
Anche io quando ho dimostrato questo teorema ho fatto più o meno come te, anzi in modo più complicato, comunque su Wikipedia puoi trovare la mia dimostrazione che poi sono riusvito a semplificare (scritta quando ero Wikipediano) sotto la voce numero primo di Sophie Germain.
PS 1 non è un numero primo!
Per assurdo esistono tre numeri x,y,z tali che 2p+1 non divide x,y,z e che
$x^p + y^p = z^p$
dove p è un primo di Sophie Germain cioè
$2p + 1 = p'$
con p' numero primo. Elevando a 2 entrambi i membri della prima equazione si ricava
$(x^p + y^p)^2 = z^2p = z^(p' − 1)$
e per il piccolo teorema di Fermat
$(x^p + y^p)^2 = 1 Mod p'$
$x^2p + 2x^py^p + y^2p = 1 Mod p'$
$x^(p' − 1) + 2x^py^p + y^(p' − 1) = 1 Mod p'$
$2x^py^p = − 1 Mod p'$
in modo analogo di ricava che
$2x^pz^p = 1 Mod p'$
$2y^pz^p = 1 Mod p'$
quindi
$2x^py^p + 2x^pz^p = 0 Mod p'$
$2x^py^p + 2y^pz^p = 0 Mod p'$
e
$2x^p(y^p + z^p) = 0 Mod p'$
$2y^p(x^p + z^p) = 0 Mod p'$
ricordando che p' non divide ne x ne y ne z allora
$x^p + y^p + 2z^p = 0 Mod p'$
$3z^p = 0 Mod p'$
ma cio è impossibile poiché p' dovrebbe dividere z
$x^p + y^p = z^p$
dove p è un primo di Sophie Germain cioè
$2p + 1 = p'$
con p' numero primo. Elevando a 2 entrambi i membri della prima equazione si ricava
$(x^p + y^p)^2 = z^2p = z^(p' − 1)$
e per il piccolo teorema di Fermat
$(x^p + y^p)^2 = 1 Mod p'$
$x^2p + 2x^py^p + y^2p = 1 Mod p'$
$x^(p' − 1) + 2x^py^p + y^(p' − 1) = 1 Mod p'$
$2x^py^p = − 1 Mod p'$
in modo analogo di ricava che
$2x^pz^p = 1 Mod p'$
$2y^pz^p = 1 Mod p'$
quindi
$2x^py^p + 2x^pz^p = 0 Mod p'$
$2x^py^p + 2y^pz^p = 0 Mod p'$
e
$2x^p(y^p + z^p) = 0 Mod p'$
$2y^p(x^p + z^p) = 0 Mod p'$
ricordando che p' non divide ne x ne y ne z allora
$x^p + y^p + 2z^p = 0 Mod p'$
$3z^p = 0 Mod p'$
ma cio è impossibile poiché p' dovrebbe dividere z
due cose
1 mi scus per il ritardo non avevo visto la risposta.
2 incredibile ma ho dimostrato allo stesso modo di carlo 23!(ho controllato su wikipedia!
1 mi scus per il ritardo non avevo visto la risposta.
2 incredibile ma ho dimostrato allo stesso modo di carlo 23!(ho controllato su wikipedia!
"blackdie":
incredibile ma ho dimostrato allo stesso modo di carlo 23!(ho controllato su wikipedia!
Si, di solito quando più persone dimostrano un teorema lo fanno in modi diversi, ma stavolta no.
Ciao!
anche per me è la prima volta in vita mia che capita....
Beh, io sono andato un po' a memoria...
L'avevo dimostrato un po' di tempo fa ma non trovando gli appunti sotto mano ho dovuto ripigliare carta e penna...
Un paio di cosette :
1) Come la mettiamo col caso p=2 ? Fermat dice che è possibile, Sophie Germain no... come la mettiamo ?
2) Sulla storia che 1 non è un numero primo non sono stato mai convinto. Se mi dici che 1 non è primo per CONVENZIONE, ci credo, ma altri motivi non ne vedo.
3) Vie più agili per dimostrarlo ?
L'avevo dimostrato un po' di tempo fa ma non trovando gli appunti sotto mano ho dovuto ripigliare carta e penna...
Un paio di cosette :
1) Come la mettiamo col caso p=2 ? Fermat dice che è possibile, Sophie Germain no... come la mettiamo ?
2) Sulla storia che 1 non è un numero primo non sono stato mai convinto. Se mi dici che 1 non è primo per CONVENZIONE, ci credo, ma altri motivi non ne vedo.
3) Vie più agili per dimostrarlo ?
"spassky":
2) Sulla storia che 1 non è un numero primo non sono stato mai convinto. Se mi dici che 1 non è primo per CONVENZIONE, ci credo, ma altri motivi non ne vedo.
Forse perché il "se stesso" e l"uno" nella definizione di un primo coincidono. Comunque sono d'accordo, non trovo neanch'io motivi. Un mio amico lo tratta da sempre in tutti i problemi come un primo
.
@spassky
1) Come la mettiamo col caso p=2 ? Fermat dice che è possibile, Sophie Germain no... come la mettiamo ?
Guarda che Sophie Germain dice che se $x^2+y^2=z^2$ allora non è possibile che 3 non divida $xyz$
1) Come la mettiamo col caso p=2 ? Fermat dice che è possibile, Sophie Germain no... come la mettiamo ?
Guarda che Sophie Germain dice che se $x^2+y^2=z^2$ allora non è possibile che 3 non divida $xyz$
"blackdie":
due cose
1 mi scus per il ritardo non avevo visto la risposta.
2 incredibile ma ho dimostrato allo stesso modo di carlo 23!(ho controllato su wikipedia!
Anche le stesse notazioni (comprese le lettere!)...
infatti!...... 
Giusto giusto giusto...
Ragionando per assurdo nella dimostrazione mi sono un po' confuso....
Ragionando per assurdo nella dimostrazione mi sono un po' confuso....
"Crook":
Forse perché il "se stesso" e l"uno" nella definizione di un primo coincidono. Comunque sono d'accordo, non trovo neanch'io motivi. Un mio amico lo tratta da sempre in tutti i problemi come un primo
Secondo me è scomodo, bisogna modificare un sacco di teoremi aggiungendo eccezioni:
La somma dei divisori di un numero primo $p$ è $p-1$, tranne se $p=1$
Ogni numero si scompone in modo unico nel prodotto di numeri primi,diversi da 1
e molti altri...
Molte di queste "correzioni" dipendono dall'assurda contrapposizione tra i partiti "pro 1 numero primo" e " 1 non è primo"...
"spassky":
3) Vie più agili per dimostrarlo ?
A me non sembra di aver trovato una via difficile. è possibile che esistano dimostrazioni più brevi ma basate su generalizzazioni del piccolo teorema di Fermat, di difficile comprensione.
Ciao!
Sulla storia che 1 non è un numero primo non sono stato mai convinto. Se mi dici che 1 non è primo per CONVENZIONE, ci credo, ma altri motivi non ne vedo.
Tutte le definzioni sono CONVENZIONALI, se è per questo.
In ogni caso, tutti i trattati seri di teoria dei numeri non si sognano di annoverare 1 fra i numeri primi.
1 non è numero primo, perché se lo fosse bisognerebbe riscrivere tre quarti dei teoremi sui numeri primi.
Primo fra tutti il teorema fondamentale dell'aritmetica che afferma che ogni numero intero è fattorizzabile IN MODO UNICO in fattori primi.
Se psicologicamente fa difficoltà non considerare 1 primo ecco una definzione di numero primo che dovrebbe aiutare:
DEF. Un numero intero positivo (diverso da zero) si dice numero primo se ammette solo due divisori distinti.
Ora si può dimostrare il seguente teorema:
TEOR. Un numero intero positivo (diverso da zero) è numero primo sse sono verificate le seguenti proprietà:
- è >=2
- è divisibile solo per 1 e per sè stesso
Perfetto :basta intendersi.
"carlo23":
Dimostrare che se $p$ è un numero primo di Sophie Germain allora non esistono tre numeri interi $x,y,z>0$ tali che $x^p+y^p=z^p$ e che $2p+1$ non divide il prodotto $xyz$.
Poiché si vuole $\gcd(2p+1,xyz) = 1$, in virtù del criterio di Eulero (per le congruenze quadratiche), vale $\pm 1 \equiv z^p \equiv x^p + y^p \equiv \pm 1 \pm 1\bmod 2p+1$, per una scelta opportuna dei segni indicati. Senonché il primo e l'ultimo membro, indipendentemente dalle effettive determinazioni dei segni, non risultano mai uguali mod 2p+1. Da qui la tesi.
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