Numeri perfetti
Questo teorema è dovuto a Eulero, ma non è troppo difficile da dimostrare:
Se $N$ è un numero perfetto dispari allora esiste un solo numero primo $p -= 1 mod 4$ tale che $p$ divide $N$
Qualcuno vuole provare a dimostrarlo?
Non conosco la dimostrazione di Eulero, ma solo una dimostrazione trovata da me, magari trovate delle dimostrazioni alternative!
Ciao, ciao!
Se $N$ è un numero perfetto dispari allora esiste un solo numero primo $p -= 1 mod 4$ tale che $p$ divide $N$
Qualcuno vuole provare a dimostrarlo?
Non conosco la dimostrazione di Eulero, ma solo una dimostrazione trovata da me, magari trovate delle dimostrazioni alternative!
Ciao, ciao!
Risposte
Ho provato questo risultato un po' di tempo fa, credendo che fosse qualcosa di nuovo, ma poi ho visto che Euler l'aveva già trovato 
.
Allora, per un eventuale numero perfetto dispari (OPN) n, dovrebbe valere
$sigma(n)=2n$
quindi sigma(n)/2=n.
Come assunto all'inizio n è dispari, quindi sigma(n) non contiene tra i suoi divisori $2^m, m>1$.
Dato che $sigma(n)=sigma(p1^(e1))*sigma(p2^(e2))*...*sigma(pn^(en))=(p1^(e1+1)-1)/(p1-1) (p2^(e2+1)-1)/(p2-1)...(pn^(en+1)-1)/(pn-1)$, con p1, p2, ..., pn i primi che dividono n,
uno solo tra i membri della parte destra dell'equazione deve essere pari. E $(p^(e+1)-1)/(p-1)$ è pari solo quando $p≡1mod4$.
Quindi è dimostrata.
Inoltre, mi sono accorto che l'esponente di questo primo deve essere della forma $2(2n-1)$.
. Allora, per un eventuale numero perfetto dispari (OPN) n, dovrebbe valere
$sigma(n)=2n$
quindi sigma(n)/2=n.
Come assunto all'inizio n è dispari, quindi sigma(n) non contiene tra i suoi divisori $2^m, m>1$.
Dato che $sigma(n)=sigma(p1^(e1))*sigma(p2^(e2))*...*sigma(pn^(en))=(p1^(e1+1)-1)/(p1-1) (p2^(e2+1)-1)/(p2-1)...(pn^(en+1)-1)/(pn-1)$, con p1, p2, ..., pn i primi che dividono n,
uno solo tra i membri della parte destra dell'equazione deve essere pari. E $(p^(e+1)-1)/(p-1)$ è pari solo quando $p≡1mod4$.
Quindi è dimostrata.
Inoltre, mi sono accorto che l'esponente di questo primo deve essere della forma $2(2n-1)$.
"Crook":
Ho provato questo risultato un po' di tempo fa, credendo che fosse qualcosa di nuovo, ma poi ho visto che Euler l'aveva già trovato
Bravo!
Si, infatti parecchio tempo fa avevo letto l'enunciato di Euler e ero riuscito a dimostrarlo. Dopo tutto se si è pratici di funzioni aritmetiche non è moto difficile...
Ciao!
Io ho letto nel libro di Hoffman questo risultato, dopo averlo trovato. Ho un certo debole per i numeri perfetti.
"Crook":
Io ho letto nel libro di Hoffman questo risultato, dopo averlo trovato. Ho un certo debole per i numeri perfetti.
è interessante che nonostante con la Teoria Analitica dei Numeri abbia ottenuto molti risultati, pochi di essi riguardano i numeri perfetti, anzi io non conosco nessun risultato che dia una stima del numero di numeri perfetti inferiori a $x$.
"carlo23":
[quote="Crook"]Io ho letto nel libro di Hoffman questo risultato, dopo averlo trovato. Ho un certo debole per i numeri perfetti.
è interessante che nonostante con la Teoria Analitica dei Numeri abbia ottenuto molti risultati, pochi di essi riguardano i numeri perfetti, anzi io non conosco nessun risultato che dia una stima del numero di numeri perfetti inferiori a $x$.[/quote]
Io ricordo solo certe formule piu' o meno eleganti che implicano $sigma(n)$, ma niente che tratti di numeri perfetti. Uno degli argomenti piu' antichi e piu' difficili. Secondo te, esistono gli OPN?
"Crook":
Secondo te, esistono gli OPN?
Cosa sono?
Sì, scusa, intendo i numeri perfetti dispari. OPN è l'abbreviato dall'inglese.
"Crook":
Sì, scusa, intendo i numeri perfetti dispari. OPN è l'abbreviato dall'inglese.
Si secondo me esistono, ma non ho idea di come si potrebbe dimostrare.
Conosci i metodi di crivello di Brun, Selberg e altri? Sembrano l'ideale per questo tipo di problemi...
Secondo me, non esistono. Semplicemente perché si sarebbe trovato almeno un OPN in tutto questo tempo. E' proprio un problema difficile, però. Gente come Euler, Descartes hanno fallito a dimostrarela loro (non)esistenza.
No, non conosco i metodi. Quali sono?
No, non conosco i metodi. Quali sono?
"Crook":
Secondo me, non esistono. Semplicemente perché si sarebbe trovato almeno un OPN in tutto questo tempo. E' proprio un problema difficile, però. Gente come Euler, Descartes hanno fallito a dimostrarela loro (non)esistenza.
No, non conosco i metodi. Quali sono?
Sono un evoluzione del crivello di Eratostene e utilizzano delle disequazioni riguardanti sviluppi di Fourier e polinomi trigonometrici per dare delle stime dei fattori primi di alcuni polinomi...
Nonostante siano metodi "elementari" hanno permesso di ottenere risultati anche dove le tecniche analitche falliscono.
Un teorema importante che usa i metodi di crivello è il teorema di Chen:
Ogni numero pari è somma di un numero primo e di un numero che ha al massimo due fattori primi
Ciao!
La cosa piu' vicina alla congettura di Goldbach. Farò delle ricerche al riguardo. Grazie, ciao!
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