Numeri letti al contrario

[Cesaropa12]

In alcuni casi, coppie di numeri di due cifre hanno le stesso prodotto dei due numeri letti al contraio ( ad esempio 13*62=31*26).Quanti sono i numeri di 2 cifre AB( A e B sono le cifre decimali) tali che 12*AB=21*BA?

[matematicoestinto]

12*AB=21*BA è meglio scriverlo così:

$12*(10a+b)=21(10b+a)$

da cui $a=2b$

Quindi la cifra $a$ deve essere pari e quindi il valore più grande che può assumere è $8$; la cifra $b$ è la metà di $a$ e quindi il valore più grande che può assumere è $4$.

In totale ci sono quattro numeri

[Aethelmyth]

Giochi di Archimede 2002 se non sbaglio

Ovviamente per soddisfare l'equivalenza deve essere che $7|AB$ e $4|BA$ dato che entrambi i membri devono avere gli stessi divisori. $A$ è per forza una cifra pari ed ora non resta che trovare i numeri che soddisfano l'equazione (rozzamente per tentativi ma sono talmente pochi ... )
$AB$ può soltanto essere 21 28 42 49 63 e 84. Poi basta invertire l'ordine delle cifre e verificare la divisibilità per 4 e troveremo che $BA = 12, 24, 36, 48$. Ovviamente poi basta verificare sostituendo i valori delle cifre nell'equivalenza e si confermano 4 valori . Fa un po' schifo ma il problema era abbastanza semplice. Non so se 12 e 21 le calcola come soluzioni
Ovviamente si nota come le soluzioni siano tutte multiple del termine "noto" del membro opposto, se qualcuno vuole cimentarsi in una dimostrazione + decente della mia, quella dovrebbe essere una chiave

[matematicoestinto]

"Aethelmyth":Giochi di Archimede 2002 se non sbaglio

Ovviamente per soddisfare l'equivalenza deve essere che $7|AB$ e $4|BA$ dato che entrambi i membri devono avere gli stessi divisori. $A$ è per forza una cifra pari ed ora non resta che trovare i numeri che soddisfano l'equazione (rozzamente per tentativi ma sono talmente pochi ... )
$AB$ può soltanto essere 21 28 42 49 63 e 84. Poi basta invertire l'ordine delle cifre e verificare la divisibilità per 4 e troveremo che $BA = 12, 24, 36, 48$. Ovviamente poi basta verificare sostituendo i valori delle cifre nell'equivalenza e si confermano 4 valori . Fa un po' schifo ma il problema era abbastanza semplice. Non so se 12 e 21 le calcola come soluzioni
Ovviamente si nota come le soluzioni siano tutte multiple del termine "noto" del membro opposto, se qualcuno vuole cimentarsi in una dimostrazione + decente della mia, quella dovrebbe essere una chiave

Ma il mio procedimento non ti piace?

[Aethelmyth]

"matematicoestinto":[quote="Aethelmyth"]Giochi di Archimede 2002 se non sbaglio

Ovviamente per soddisfare l'equivalenza deve essere che $7|AB$ e $4|BA$ dato che entrambi i membri devono avere gli stessi divisori. $A$ è per forza una cifra pari ed ora non resta che trovare i numeri che soddisfano l'equazione (rozzamente per tentativi ma sono talmente pochi ... )
$AB$ può soltanto essere 21 28 42 49 63 e 84. Poi basta invertire l'ordine delle cifre e verificare la divisibilità per 4 e troveremo che $BA = 12, 24, 36, 48$. Ovviamente poi basta verificare sostituendo i valori delle cifre nell'equivalenza e si confermano 4 valori . Fa un po' schifo ma il problema era abbastanza semplice. Non so se 12 e 21 le calcola come soluzioni
Ovviamente si nota come le soluzioni siano tutte multiple del termine "noto" del membro opposto, se qualcuno vuole cimentarsi in una dimostrazione + decente della mia, quella dovrebbe essere una chiave

Ma il mio procedimento non ti piace? [/quote]
No è che hai postato mentre lo facevo ankio e quindi nn l'avevo letta
Buona l'idea del 10a+b e 10b+a