Numeri armonici

[carlo232]

Il numero armonico $n$-esimo è definito come

$H_n=1+1/2+1/3+1/4+...+1/n$

dimostrare che per $n>1$ allora $H_n$ non è mai un numero intero.

Ciao!

[carlo232]

Io ho trovato questa breve dimostrazione che utilizza il teorema di Chebychev, per $n>4$ esiste un numero primo $p$ tale che $n/2
$H_n=1+1/2+1/3+...+1/n=((n!)/1+(n!)/2+(n!)/3...+(n!)/n)/(n!)$

perchè il secondo membro sia intero deve essere che

$(n!)/1+(n!)/2+(n!)/3...+(n!)/n -=0 mod n!$

quindi

$(n!)/1+(n!)/2+(n!)/3...+(n!)/n -=0 mod p$

ora a causa della scelta di $p$ risulta che tra $1$ e $n$ solo un numero è divisibile per $p$, $p$ stesso. Allora
$(n!)/m -=0 mod p$ se $m != p$ quindi

$(n!)/p -=0 mod p$

ma ciò è impossibile essendo $p$ primo.

Qualcuno conosce dimostrazioni che non usino il teorema di Chebychev?

[Sk_Anonymous]

By way of contradiction, esista un intero $n > 3$ tale che $H_n$ sia esso stesso intero. Allora $0 \le v_2(H_n) = v_2(\sum_{k=1}^n \frac{n!}{k}) - v_2(n!)$, ove $v_2(\cdot)$ indica una valutazione 2-adica. Eppure $\sum_{k=1}^n \frac{n!}{k} \equiv 1 \bmod 2$, e perciò $0 \le v_2(H_n) = -v_2(n!) < 0$, assurdo! A questo punto, i casi "superstiti" si testano "a mano"...