New Year's Day

[axpgn]

Il Capodanno cade più spesso di Sabato o di Domenica? Perché?

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Se un anno cade di sabato, l'anno successivo cade di domenica.
Ogni quattro anni (anno bisestile) si salta un giorno, ma la situazione non cambia.
Quindi la risposta dovrebbe essere sabato, visto che avevi già pubblicato questo quesito:
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=12&t=188360

[axpgn]

No, quello era un problema diverso

Comunque, prima di confermare una soluzione piuttosto che un'altra, aspetto una risposta completa di dimostrazione (anche perché c'è poco da scegliere: o è Sabato o è Domenica o è lo stesso )

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Intendevo dire che sabati e domeniche dovrebbero essere uguali, ma il tuo quesito dell'altra volta ha dimostrato che determinati inizi di secolo possano cadere di sabato, ma non di domenica.

[axpgn]

Ripeto: dammi una risposta precisa (con dimostrazione) e ti dirò di sì o di no

[Studente Anonimo]

Se non ho sbagliato a plottare l'algoritmo Doomsday,
-Tra il 2100-2199, ci sono, diremo che è un secolo di tipo 0
15 domeniche al 1 gennaio
14 sabati al 1 gennaio
-Tra il 2000-2099 ci sono, diremo che è un secolo di tipo 2
14 domeniche al 1 gennaio
15 sabati al 1 gennaio
-Tra il 1900-1999 ci sono, diremo che è un secolo di tipo 3
15 domeniche al 1 gennaio
13 sabati al 1 gennaio
-Tra il 1800-1899 ci sono, diremo che è un secolo di tipo 5
15 domeniche al 1 gennaio
14 sabati al 1 gennaio

Per il secolo di tipo \(k \in \{0,2,3,5\}\), dove \( y \) le ultime due cifre di un anno non bisestile
\[ (-2 + ((y+\left \lfloor y/4 \right \rfloor )\mod 7)+k)\mod 7 =6\]
Trova il numero di sabati
Per il secolo di tipo \(k \in \{0,2,3,5\}\), dove \( y \) le ultime due cifre di un anno bisestile
\[ (-3 + ((y+\left \lfloor y/4 \right \rfloor )\mod 7)+k)\mod 7 =6\]
Trova il numero di sabati

Per il secolo di tipo \(k \in \{0,2,3,5\}\), dove \( y \) le ultime due cifre di un anno non bisestile
\[ (-2 + ((y+\left \lfloor y/4 \right \rfloor )\mod 7)+k)\mod 7 =0\]
Trova il numero di domeniche
Per il secolo di tipo \(k \in \{0,2,3,5\}\), dove \( y \) le ultime due cifre di un anno bisestile
\[ (-3 + ((y+\left \lfloor y/4 \right \rfloor )\mod 7)+k)\mod 7 =0\]
Trova il numero di domeniche

Inoltre se \( x \) sono le prime due cifre di un secolo di tipo \( k \in \{0,2,3,5\} \) allora \( x + 4n \) con \(n \in \mathbb{Z} \) restituisce un secolo di tipo \(k \).

Concludiamo pertanto che ci sono più domeniche che sabati!

[axpgn]

Il nostro calendario si ripete esattamente ogni $400$ anni; oggi è Lunedì 18 Novembre 2019 e sarà Lunedì anche il 18 novembre 2419 (salvo sorprese ).
Infatti in ogni anno "normale" ci sono $52$ settimane e un giorno, che sono due in quelli bisestili, cioè cinque giorni in più ogni quattro anni che fanno $500$ giorni in quattrocento anni.
Ma dato che i tre anni secolari non divisibili per quattrocento non sono bisestili dobbiamo sottrarne tre ovvero $497$ giorni in più in $400$ anni: è del tutto evidente che $497$ è divisibile per sette
In generale anche un periodo di $28$ anni è ciclico ($35$ giorni in più) e si verifica facilmente che i Capodanni si distribuiscono equamente sui diversi giorni della settimana.
Se non fosse, appunto, per i tre anni secolari "spurii", che complicano le cose; è però sufficiente analizzare i tre periodi di $28$ anni a cavallo di questi tre anni oltre allo spezzone finale di otto anni del ciclo di $400$ per verificare che il Capodanno cade più spesso di Domenica che di Sabato.

Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

"axpgn"::smt023

Il nostro calendario si ripete esattamente ogni $400$ anni; oggi è Lunedì 18 Novembre 2019 e sarà Lunedì anche il 18 novembre 2419 (salvo sorprese ).
Infatti in ogni anno "normale" ci sono $52$ settimane e un giorno, che sono due in quelli bisestili, cioè cinque giorni in più ogni quattro anni che fanno $500$ giorni in quattrocento anni.
Ma dato che i tre anni secolari non divisibili per quattrocento non sono bisestili dobbiamo sottrarne tre ovvero $497$ giorni in più in $400$ anni: è del tutto evidente che $497$ è divisibile per sette
In generale anche un periodo di $28$ anni è ciclico ($35$ giorni in più) e si verifica facilmente che i Capodanni si distribuiscono equamente sui diversi giorni della settimana.
Se non fosse, appunto, per i tre anni secolari "spurii", che complicano le cose; è però sufficiente analizzare i tre periodi di $28$ anni a cavallo di questi tre anni oltre allo spezzone finale di otto anni del ciclo di $400$ per verificare che il Capodanno cade più spesso di Domenica che di Sabato.

Cordialmente, Alex

Ed ecco spiegato il motivo per cui le soluzioni delle equazioni modulari che avevo erano
Per un secolo di tipo \( 2 \)
Per le domeniche bisestili
\(y= 28n + 12 \), con \( n \in \{0,1,2,3\} \)
Per le domeniche non bisestili
\(y= 28n + 6 \), con \( n \in \{0,1,2,3\} \)
\(y= 28n + 17 \), con \( n \in \{0,1,2\} \)
\(y= 28n + 23 \), con \( n \in \{0,1,2\} \)

Per i sabati bisestili
\(y= 28n \), con \( n \in \{0,1,2,3\} \)
Per i sabati non bisestili
\(y= 28n + 22 \), con \( n \in \{0,1,2\} \)
\(y= 28n + 5 \), con \( n \in \{0,1,2,3\} \)
\(y= 28n + 11 \), con \( n \in \{0,1,2,3\} \)

Pertanto questo secolo i capodanni cadranno e sono caduti di sabato il 2000, 2028, 2056, 2084 (tutti anni bisestili) nel 2005, 2011, 2022, 2033, 2039, 2050, 2061, 2067, 2078, 2089, 2095.
Così come in qualunque altro secolo le cui prime due cifre sono \( x \) e \( x \equiv 0 \mod 4 \) avremo che i capodanni cadranno di sabato nel
\(x00, x28, x56, x84,\) per gli anni bisestili e di \( x05, x11, x22, x33, x39, x50, x61, x67, x78, x89, x95\) per qualli non bisestili.


Non ho voglia di scrivere tutte le soluzion per ogni tipo di secolo però erano in generale tutti della forma
\( 28n + \ell \), per qualche \( \ell \) e per \( n \in \{0,1,2\} \) se \( \ell > 15 \) oppure per \( n \in \{ 0,1,2,3\} \) per \( \ell \leq 15 \).