New Mexico

[axpgn]

Mi trovavo a Las Cruces, Nuovo Messico, per visitare un sito archeologico perciò assoldai una guida locale e ci incamminammo di buon'ora a dorso di mulo verso la Mesilla.
Data la "scomodità" decidemmo che ci saremmo fermati lungo il cammino per un ristoro, a San Tomaso.
Dopo quaranta minuti di viaggio chiesi a Pedro quanta strada avevamo fatto.
Rispose: "Esattamente la metà della distanza che adesso ci separa da San Tomaso".
Proseguimmo faticosamente per undici miglia e chiesi alla mia guida quanto mancasse alla nostra meta, la Mesilla.
Rispose come prima: "Esattamente la metà della distanza che adesso ci separa da San Tomaso".
Finalmente dopo un'ora arrivammo a destinazione, con mio grande sollievo.
Quanto era lungo (in miglia) il viaggio da Las Cruces alla Mesilla?

Cordialmente, Alex

[nino_12]

$16,5$ miglia
Il viaggio è durato 5 ore di cammino a velocità costante di $3,3$ miglia/h (sosta esclusa)

[Brancaleone1]

O---------------------S---------------------M
|----------x----------|----------y----------|
|---t---|----(x-t)----|----(y-r)----|---r---|
|---------11 miglia--------|

Sia $x$ il tragitto fino a San Tomaso e sia $y$ il percorso rimanente, in modo che la lunghezza del viaggio totale sia data dalla somma $x + y$. Sia inoltre $t$ il tragitto percorso nel momento della prima domanda e $r$ il tratto rimanente nel momento della seconda domanda.
Dalla prima frase risulta che il tratto $t$ percorso è

\[t = \frac{{x - t}}{2}\]

Analogamente, dalla seconda frase risulta che il tratto $r$ rimanente fino alla meta è

\[r = \frac{{y - r}}{2}\]

Dal grafico della situazione ricavato più sopra notiamo come il pezzo percorso tra le due domande, che equivale a 11 miglia, corrisponde a

\[\left( {x - t} \right) + \left( {y - r} \right) = 11\]

Infine, correlando le lunghezze $t$ e $r$ al tempo impiegato per percorrerle (40 minuti per $t$ e 1 ora per $r$, da cui 2 ore per $x$ e 3 ore per $y$) e ipotizzando che durante il cammino sia stata mantenuta una velocità costante (escludendo perciò la sosta a San Tomaso), ricaviamo che il viaggio è durato 5 ore, e dopo la proporzione

\[\begin{array}{l}
t:40{\rm{ min}} = r:60{\rm{ min}}\\
\Rightarrow t = \frac{2}{3}r
\end{array}\]

possiamo mettere tutto a sistema per trovare la lunghezza totale:

\[\left\{ \begin{array}{l}
t = \frac{{x - t}}{2}\\
r = \frac{{y - r}}{2}\\
\left( {x - t} \right) + \left( {y - r} \right) = 11\\
t = \frac{2}{3}r
\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 6,6\\
y = 9,9\\
t = 2,2\\
r = 3,3
\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow x + y = 16,5\]

[marco9551]

Incominciamo col fare un'osservazione.Nei primi 40 minuti di viaggio non possono aver sorpassato San Tomaso. Infatti se ipotizzassimo che ciò sia vero, arriveremmo ad una contraddizione. Proviamolo.
Chiamiamo $a$ la distanza tra Las Cruces e San Tomaso, e $b$ l'ipotetica distanza percorsa dopo San Tomaso(in tutto sarebbero passati 40 minuti da quando si trovavano a Las Cruces). Per quanto detto da Pedro, avremo
$a+b=b/2$
Essendo $a>0$e $b>0$ ovviamente questo è impossibile.
Dunque i 40 minuti sono stati impiegati solo per la marcia tra Las Cruces e San Tomaso, senza soste, il che ci permette di calcolare la velocità supponendo che viaggino di moto uniforme.

Chiamiamo $x$ la metà della distanza da San Tomaso nei primi 40 minuti e dunque il loro spazio percorso. La loro velocità sarà
$v=x/40$
La loro distanza da San Tomaso è $2x$
Sappiamo che in seguito percorrono $11$ miglia. In seguito la loro distanza da San Tomaso sarà $|2x-11|$.
La loro distanza dalla Mersilia, per quanto afferma Pedro, è in tale istante $|2x -11|/2$ che percorrono in $1h=60min$. Impostiamo la seguente equazione:
$|2x-11|/2=v*60min$
Avremo due soluzioni di cui una negativa che scartiamo, e l'altra è $x=11/5$
La distanza complessiva dalla Mesilla è
$x+11+|2x-11|/2=11/5+11+33/10=16,5$miglia

[axpgn]

Ok!

La mia soluzione è questa:

Premessa: i dati relativi ai tempi di percorrenza non sono necessari per la soluzione.

Chiamiamo $A$ e $B$ i due tratti; dalle risposte della guida notiamo che la distanza di $11$ miglia è la somma dei due terzi di $A$ con i due terzi di $B$ ovverossia $11$ miglia sono i due terzi di tutto il percorso il quale quindi sarà pari a $11*3/2=16.5$ miglia.

Cordialmente, Alex