Monthy-Hall
Ho proposto ad un altro forum (non matematico) su cui sono iscritto questo quesito, che contiene il paradosso o problema di Monthy-Hall e altre domandine.
C'è accordo sulla prime 3 domande e relative risposte ma non sull'ultima.
Eccolo:
"Vediamo chi indovina (non barate cercando altrove la soluzione). Stasera metto le risposte.
Davanti a voi ci sono tre carte da gioco coperte, mescolate a caso (senza che voi vedeste); due sono assi e una è un re.
Vi chiedo di indovinare dov'è il re.
1) Qual è la probabilità che indoviniate ?
La carta da voi scelta non viene scoperta ma rimane coperta. A questo punto scopro una delle due restanti carte e vi mostro che è un asso.
2) Qual è la probabilità che la carta da voi scelta prima sia il re ?
A questo punto (ricapitolando: un asso scoperto, la carta da voi scelta coperta, e la terza carta anchessa coperta) vi dò la possibilità di cambiare carta , rispetto alla vostra scelta iniziale.
3) Qual è la probabilità che indoviniate dove è il re ?
Siccome siete testardi, voi non cambiate carta e tenete quella iniziale, anche se potevate cambiarla.
4) Qual è la probabilità che abbiate indovinato dove si trova il re ?
Non ci sono trabocchetti, basta solo ragionare.
"
Io sostengo che la risposta alla 4° domanda sia ancora 2/3 dato che la scelta della carta non può influire sulla probabilità (che viene calcolata prima che uno scelga la carta). Il fatto che uno cambi carta oppure no, non c'entra nulla con la probabilità di beccare il re.
Gli altri mi dicono 1/3.
Vorrei sottolineare come uno HA LA POSSIBILITA' di cambiare carta: SE LA CAMBIA O NO CHI SE NE FREGA ? La probabilità rimane la stessa.
VOi che ne pensate ?
Per le altre domande c'è accordo su queste risposte:
1) 1/3
2) 1/3
3) 2/3
Se ho ragione vorrei dimostrare in qualche modo agli altri perchè ho ragione; se sbaglio vorrei capire dove (e dirlo anche agli altri)
Grazie
C'è accordo sulla prime 3 domande e relative risposte ma non sull'ultima.
Eccolo:
"Vediamo chi indovina (non barate cercando altrove la soluzione). Stasera metto le risposte.
Davanti a voi ci sono tre carte da gioco coperte, mescolate a caso (senza che voi vedeste); due sono assi e una è un re.
Vi chiedo di indovinare dov'è il re.
1) Qual è la probabilità che indoviniate ?
La carta da voi scelta non viene scoperta ma rimane coperta. A questo punto scopro una delle due restanti carte e vi mostro che è un asso.
2) Qual è la probabilità che la carta da voi scelta prima sia il re ?
A questo punto (ricapitolando: un asso scoperto, la carta da voi scelta coperta, e la terza carta anchessa coperta) vi dò la possibilità di cambiare carta , rispetto alla vostra scelta iniziale.
3) Qual è la probabilità che indoviniate dove è il re ?
Siccome siete testardi, voi non cambiate carta e tenete quella iniziale, anche se potevate cambiarla.
4) Qual è la probabilità che abbiate indovinato dove si trova il re ?
Non ci sono trabocchetti, basta solo ragionare.
"
Io sostengo che la risposta alla 4° domanda sia ancora 2/3 dato che la scelta della carta non può influire sulla probabilità (che viene calcolata prima che uno scelga la carta). Il fatto che uno cambi carta oppure no, non c'entra nulla con la probabilità di beccare il re.
Gli altri mi dicono 1/3.
Vorrei sottolineare come uno HA LA POSSIBILITA' di cambiare carta: SE LA CAMBIA O NO CHI SE NE FREGA ? La probabilità rimane la stessa.
VOi che ne pensate ?
Per le altre domande c'è accordo su queste risposte:
1) 1/3
2) 1/3
3) 2/3
Se ho ragione vorrei dimostrare in qualche modo agli altri perchè ho ragione; se sbaglio vorrei capire dove (e dirlo anche agli altri)
Grazie
Risposte
Conviene sempre cambiare.
Che c'entra con la domanda ?
Io vorrei sapere se la risposta alla quarta domanda è 1/3 o 2/3...
Io vorrei sapere se la risposta alla quarta domanda è 1/3 o 2/3...
C'entra. Intendo che la probabilità è 1/3, se non cambi carta. Se la cambi, invece, è di 2/3.
La situazione è proprio paradossale.
Queto di Monthy Hall è piuttosto famoso come paradosso, ma porta alla necessaria riflessione su cosa sia realmente la probabilità.
Queto di Monthy Hall è piuttosto famoso come paradosso, ma porta alla necessaria riflessione su cosa sia realmente la probabilità.
Non mi riesce farmi capire da nessuno ...
scusate io voglio dire che la domanda 3) è il problema di Monthy-Hall e tutti siamo d'accordo ... la probabilità è 2/3.
Nella 4) vorrei sottolineare come uno è come se scegliesse due volte la stessa carta e non è che TIENE SEMPRE LA STESSA CARTA INIZIALE (gli viene data la possibilità di cambiare ma NON LA CAMBIA). Ora il problema (che è abbastanza sottile e c'entra solo relativamente con il problema di Monthy-Hall) è che la probabilità di aver indovinato il re VIENE CALCOLATA DOPO CHE GLI E' STATA OFFERTA LA POSSIBILITA' DI CAMBIARE MA PRIMA CHE DECIDA SE CAMBIARE O NO !!!! COme è possibile che nessuno capisca la differenza ??? A me pare così evidente ...
Non ha senso dire "SE CAMBIA CARTA, LA PROBABILITA' E' QUESTA, SE NON CAMBIA CARTA LA PROBABILITA' E' QUEST' ALTRA' mentre , secondo me, ha senso dire " SE GLI VIENE OFFERTA LA POSSIBILITA' DI CAMBIARE CARTA, LA PROBABILITA' E' QUESTA , mentre se NON GLI VIENE OFFERTA LA POSSIBILITA' DI CAMBIARE CARTA la PROBABILITA' è quest'altra" .
Il fatto che cambi carta o no è IRRILEVANTE per il calcolo della probabilità , mentre è molto rilevante il fatto che gli venga offerta la possibilità di cambiare carta (che è una cosa molto diversa dal CAMBIARE EFFETTIVAMENTE CARTA).
Cioè ricapitolando:
1) UNA ASSO SCOPERTO , DUE CARTE COPERTE
2) VUOI CAMBIARE CARTA ?
3) CALCOLO DELLA PROBABILITA' DI INDOVINARE IL RE ALLA PROSSIMA SCELTA (SIA CHE RI-SCELGA LA STESSA CARTA DI PRIMA, SIA CHE SCELGA L'ALTRA) : 2/3
4) SCELGO LA CARTA TRA LE DUE COPERTE (POSSO RISCEGLIERE QUELLA INIZIALE OPPURE SCELGO L'ALTRA) ... COME PUO' INFLUIRE QUESTA SCELTA SULLA PROBABILITA' CHE E' STATA GIA' CALCOLATA AL PUNTO 3) ? IN NESSUN MODO ....
Non so come spiegarmi in modo diverso....
scusate io voglio dire che la domanda 3) è il problema di Monthy-Hall e tutti siamo d'accordo ... la probabilità è 2/3.
Nella 4) vorrei sottolineare come uno è come se scegliesse due volte la stessa carta e non è che TIENE SEMPRE LA STESSA CARTA INIZIALE (gli viene data la possibilità di cambiare ma NON LA CAMBIA). Ora il problema (che è abbastanza sottile e c'entra solo relativamente con il problema di Monthy-Hall) è che la probabilità di aver indovinato il re VIENE CALCOLATA DOPO CHE GLI E' STATA OFFERTA LA POSSIBILITA' DI CAMBIARE MA PRIMA CHE DECIDA SE CAMBIARE O NO !!!! COme è possibile che nessuno capisca la differenza ??? A me pare così evidente ...
Non ha senso dire "SE CAMBIA CARTA, LA PROBABILITA' E' QUESTA, SE NON CAMBIA CARTA LA PROBABILITA' E' QUEST' ALTRA' mentre , secondo me, ha senso dire " SE GLI VIENE OFFERTA LA POSSIBILITA' DI CAMBIARE CARTA, LA PROBABILITA' E' QUESTA , mentre se NON GLI VIENE OFFERTA LA POSSIBILITA' DI CAMBIARE CARTA la PROBABILITA' è quest'altra" .
Il fatto che cambi carta o no è IRRILEVANTE per il calcolo della probabilità , mentre è molto rilevante il fatto che gli venga offerta la possibilità di cambiare carta (che è una cosa molto diversa dal CAMBIARE EFFETTIVAMENTE CARTA).
Cioè ricapitolando:
1) UNA ASSO SCOPERTO , DUE CARTE COPERTE
2) VUOI CAMBIARE CARTA ?
3) CALCOLO DELLA PROBABILITA' DI INDOVINARE IL RE ALLA PROSSIMA SCELTA (SIA CHE RI-SCELGA LA STESSA CARTA DI PRIMA, SIA CHE SCELGA L'ALTRA) : 2/3
4) SCELGO LA CARTA TRA LE DUE COPERTE (POSSO RISCEGLIERE QUELLA INIZIALE OPPURE SCELGO L'ALTRA) ... COME PUO' INFLUIRE QUESTA SCELTA SULLA PROBABILITA' CHE E' STATA GIA' CALCOLATA AL PUNTO 3) ? IN NESSUN MODO ....
Non so come spiegarmi in modo diverso....
Ricordo che questo problema il mio prof. di matematica al liceo lo propose alla classe e io modestamente lo risolsi in men che non si dica facendo dei semplici grafi ad albero 
si può spiegare con le probabilità condizionate $P(A|$ asso scoperto)$=P(A)=1/3$, se si cambia carta $P(A|$ cambio carta)$=2/3$
si può spiegare con le probabilità condizionate $P(A|$ asso scoperto)$=P(A)=1/3$, se si cambia carta $P(A|$ cambio carta)$=2/3$
Interessante, quindi la probabilità totale è 4/3.
Ho paura che Kolmogorov stia gridando vendetta...
Ho paura che Kolmogorov stia gridando vendetta...
"cheguevilla":
Interessante, quindi la probabilità totale è 4/3.
Ho paura che Kolmogorov stia gridando vendetta...
che vuoi dire? 
A quanto dice pacionet,
se per entrambe le posizioni la probabilità è 2/3, ed i due eventi sono chiaramente incompatibili, per il 3° postulato di Kolmogorov la somma delle loro probabilità sarebbe 4/3.
Ma, per il secondo postulato di Kolmogorov, $P(omega)=1$.
"pacionet":
3) CALCOLO DELLA PROBABILITA' DI INDOVINARE IL RE ALLA PROSSIMA SCELTA (SIA CHE RI-SCELGA LA STESSA CARTA DI PRIMA, SIA CHE SCELGA L'ALTRA) : 2/3
se per entrambe le posizioni la probabilità è 2/3, ed i due eventi sono chiaramente incompatibili, per il 3° postulato di Kolmogorov la somma delle loro probabilità sarebbe 4/3.
Ma, per il secondo postulato di Kolmogorov, $P(omega)=1$.
Ah, si giustissimo
Salve gente.
Scusate se riesumo questo topic, ma non volevo crearne uno nuovo.
Proprio oggi mi sono imbattuto nel problema di Monty Hall. Ho letto tutta la wiki in inglse, e ho capito perfettamente il ragionamenot per il quale conviene cambiare la porta. Il punto è che secondo me è sbagliato.
E' come se si rimasse "vittime" della probabilità: invece di utilizzare le probabilità per descrivere un fenomeno incerto, si rimane intrappolati nelle maglie della teoria delle probbailità Provo a spiegarmi meglio.
E' assodato che, quando tutte e tre le porte sono chiuse, la probabilità di indovinare la macchina è 1/3.
Supponiamo che, prima ancora che il conduttore apra una delle due porte con la capra, qualcuno ci dica (in gran segreto) che dietro la porta 3 c'è una capra. E' evidente che, nel momento in cui otteniamo questa nuova informazione, andiamo immediatamente a ricalcolare le nostre probabilità (che dipendoo fortemente dalle info a nostra disposizione). A questo punto assegneremo una porbabilità di 1/2 a ciascuna delle due porte rimanenti.
Ora supponiamo che il conduttore apra la porta 3 e ci mostri la capra, e fermiamoci all'istante in cui non ci ha ancora chiesto se vogliamo cambiare o meno. L'evento di prima (qualcuno ci dice in gran segreto che dietro la porta 3 c'è la capra) è equivalente a quest'utimo (il conduttore apre la porta 3): entrambi ci danno una nuova informazione, cioè che dietro la porta 3 c'è una capra. E così come abbiamo fatto prima, ricalcoliamo le nostre probabilità, che diventano 1/2.
A questo punto il conduttore ci fa la fatidica domanda: cambiamo porta? Qualunque cosa rispondiamo, le probabilità rimarranno sempre le stesse.
In pratica, la mia osservazione è: le probabilità di 1/3 che assegnamo inizialmente a ciascuna porta non fanno altro che descrive un fenomeno aleatorio, sulla base di un certo set in informazioni. Nel momento in cui il conduttore apra una porta, il gioco cambia, quelle probbailità non lo descrivono più, quindi non possiamo sommarle fra loro. Spero di essermi spiegato. E vorrei sapere cosa ne pensate
Scusate se riesumo questo topic, ma non volevo crearne uno nuovo.
Proprio oggi mi sono imbattuto nel problema di Monty Hall. Ho letto tutta la wiki in inglse, e ho capito perfettamente il ragionamenot per il quale conviene cambiare la porta. Il punto è che secondo me è sbagliato.
E' come se si rimasse "vittime" della probabilità: invece di utilizzare le probabilità per descrivere un fenomeno incerto, si rimane intrappolati nelle maglie della teoria delle probbailità Provo a spiegarmi meglio.
E' assodato che, quando tutte e tre le porte sono chiuse, la probabilità di indovinare la macchina è 1/3.
Supponiamo che, prima ancora che il conduttore apra una delle due porte con la capra, qualcuno ci dica (in gran segreto) che dietro la porta 3 c'è una capra. E' evidente che, nel momento in cui otteniamo questa nuova informazione, andiamo immediatamente a ricalcolare le nostre probabilità (che dipendoo fortemente dalle info a nostra disposizione). A questo punto assegneremo una porbabilità di 1/2 a ciascuna delle due porte rimanenti.
Ora supponiamo che il conduttore apra la porta 3 e ci mostri la capra, e fermiamoci all'istante in cui non ci ha ancora chiesto se vogliamo cambiare o meno. L'evento di prima (qualcuno ci dice in gran segreto che dietro la porta 3 c'è la capra) è equivalente a quest'utimo (il conduttore apre la porta 3): entrambi ci danno una nuova informazione, cioè che dietro la porta 3 c'è una capra. E così come abbiamo fatto prima, ricalcoliamo le nostre probabilità, che diventano 1/2.
A questo punto il conduttore ci fa la fatidica domanda: cambiamo porta? Qualunque cosa rispondiamo, le probabilità rimarranno sempre le stesse.
In pratica, la mia osservazione è: le probabilità di 1/3 che assegnamo inizialmente a ciascuna porta non fanno altro che descrive un fenomeno aleatorio, sulla base di un certo set in informazioni. Nel momento in cui il conduttore apra una porta, il gioco cambia, quelle probbailità non lo descrivono più, quindi non possiamo sommarle fra loro. Spero di essermi spiegato. E vorrei sapere cosa ne pensate
Mi è venuto un altro esempio: immaginate ch eil conduttore, dopo aver aperto la porta 3 con la capra, chieda ad uno del pubblico di scegliere una porta: che probabilità assegna il tizio del pubblico a ciascuna delle due porte rimaste? 1/2. Ma se per il pubblico la probabilità è 1/2, perchè non dovrebbe esserlo anche per il concorrente?
Ho come l'impressione che in questo paradosso si utilizzi un fenomeno incerto per descrivere una proprietà delle probabilità, piuttosto che fare il contrario.
Ho come l'impressione che in questo paradosso si utilizzi un fenomeno incerto per descrivere una proprietà delle probabilità, piuttosto che fare il contrario.
I tuoi ragionamenti non tengono conto del fatto che la scelta del conduttore è influenzata da quella del concorrente.
E in che modo ciò modifica la reale probabilità che dietro una delle due porte rimaste ci sia la macchina?
Prova a porti la seguente domanda.
Il conduttore poteva aprire l'altra porta?
Il conduttore poteva aprire l'altra porta?
Intendi l'altra porta con la capra? Certo, ma non sarebbe cambiato nulla.
Supponiamo che mi apre la porta 2. E' come se qualcuno mi avesse detto, quando tutte e tre le porte erano ancora chiuse, che dietro la porta 2 c'è una capra. Esattamente come prima io ricalcolo le probabilità in funzione della nuova informazione.
Il punto secondo me è questo: sto problema di Monty mi sembra solamente un gioco di logica, un paradosso la cui esistenza è permessa dalla stessa teoria della probabilità, che per le sue leggi mi porta a dire che è conveniente cambiare scelta. Ma fermiamoci un attimo: noi stiamo intendendo la probabilità come casi favorevoli su casi possibili. Probabilemente non è una definizione adatta da cui partire. Non so voi, ma razionalmente non riesco a convincermi che la probabilità diventa il 66,7%, anche se lo si può dimostrare col teorema di Bayes
Supponiamo che mi apre la porta 2. E' come se qualcuno mi avesse detto, quando tutte e tre le porte erano ancora chiuse, che dietro la porta 2 c'è una capra. Esattamente come prima io ricalcolo le probabilità in funzione della nuova informazione.
Il punto secondo me è questo: sto problema di Monty mi sembra solamente un gioco di logica, un paradosso la cui esistenza è permessa dalla stessa teoria della probabilità, che per le sue leggi mi porta a dire che è conveniente cambiare scelta. Ma fermiamoci un attimo: noi stiamo intendendo la probabilità come casi favorevoli su casi possibili. Probabilemente non è una definizione adatta da cui partire. Non so voi, ma razionalmente non riesco a convincermi che la probabilità diventa il 66,7%, anche se lo si può dimostrare col teorema di Bayes
"Ciobix":
Intendi l'altra porta con la capra? Certo, ma non sarebbe cambiato nulla.
Supponiamo che mi apre la porta 2. E' come se qualcuno mi avesse detto, quando tutte e tre le porte erano ancora chiuse, che dietro la porta 2 c'è una capra. Esattamente come prima io ricalcolo le probabilità in funzione della nuova informazione.
...
Chi ha detto che dietro la porta due c'è la capra?
Devi esaminare le varie possibilità.
é solo un gioco di parole...
Non so quanti di voi guardava "Affari tuoi" (io no, in realtà), ma mi è capitato sporadicamente di vedere che il concorrente, arrivato agli ultimi due pacchi con ancora il "maxipremio" in gioco, doveva scegliere se cambiare il proprio pacco con l'altro rimasto. Le probabilità sono e rimangono le stesse, ossia 1/n, dove n in questo caso, sono le porte da aprire come potrebbero essere i pacchi da aprire.
Non si è parlato (ingegnosamente) di una cosa che il gioco la ritiene quasi ovvia: chi l'ha detto che dopo la mia prima scelta, sono ancora "in gioco"? chi l'ha detto che non sbaglio? Ecco che nel caso fortunato in cui non sbaglio (che per 2/3 si avvera), allora si può parlare di 50% di probabilità di vincere, e non in tutti i casi.
Mettiamo per assurdo che io, dopo la mia prima scelta, non so se ho scelto bene o male. Quante probabilità ho di aver scelto bene? sempre 1/3. In due casi su 3, ci verrà detto che siamo sulla strada giusta e che quindi possiamo scegliere di cambiare, non sempre. Come dire, 2/3 di probabilità ci permettono di averne 1/2, ma la metà di 2/3 incidentalmente è 1/3! Nell'altro 1/3 avremmo sbagliato.
Non so quanti di voi guardava "Affari tuoi" (io no, in realtà), ma mi è capitato sporadicamente di vedere che il concorrente, arrivato agli ultimi due pacchi con ancora il "maxipremio" in gioco, doveva scegliere se cambiare il proprio pacco con l'altro rimasto. Le probabilità sono e rimangono le stesse, ossia 1/n, dove n in questo caso, sono le porte da aprire come potrebbero essere i pacchi da aprire.
Non si è parlato (ingegnosamente) di una cosa che il gioco la ritiene quasi ovvia: chi l'ha detto che dopo la mia prima scelta, sono ancora "in gioco"? chi l'ha detto che non sbaglio? Ecco che nel caso fortunato in cui non sbaglio (che per 2/3 si avvera), allora si può parlare di 50% di probabilità di vincere, e non in tutti i casi.
Mettiamo per assurdo che io, dopo la mia prima scelta, non so se ho scelto bene o male. Quante probabilità ho di aver scelto bene? sempre 1/3. In due casi su 3, ci verrà detto che siamo sulla strada giusta e che quindi possiamo scegliere di cambiare, non sempre. Come dire, 2/3 di probabilità ci permettono di averne 1/2, ma la metà di 2/3 incidentalmente è 1/3! Nell'altro 1/3 avremmo sbagliato.
@Ciobix:
Supponi di essere dopo l'apertura della porta tre (o dopo che quello ti ha detto che c'è capra).
Ti viene chiesto se vuoi cambiare. A questo punto hai differenti strategie che puoi seguire.
Lanci ad esempio una moneta per decidere le due porte. Probabilità 1/2.
Il fatto che però il gioco ha avuto un certo sviluppo (scelta iniziale - apertura del conduttore della tre (come dice mamo il conduttore sa di aprire capra)
ti fornisce informazione che modifica la probabilità di macchina. (la moneta non ha questa informazione).
Il ragionamento è: se all'inizio hai scelto macchina (probabilità 1/3) cambiando vai su capra
se hai preso capra (2/3) cambiando vai su macchina.
Se invece non cambi rimani con l'un/terzo della scelta casuale iniziale.
Quindi si potrebbe dire che è una questione di informazione, nel senso che se ti poni indipendente dall'informazione del gioco la probabilità di vincere bcambiando è un mezzo, ma se tieni conto dell'informazione la probabilità di vincere cambiando è due terzi. (e sarebbe sbagliato dire che in questo caso è un mezzo)
Supponi di essere dopo l'apertura della porta tre (o dopo che quello ti ha detto che c'è capra).
Ti viene chiesto se vuoi cambiare. A questo punto hai differenti strategie che puoi seguire.
Lanci ad esempio una moneta per decidere le due porte. Probabilità 1/2.
Il fatto che però il gioco ha avuto un certo sviluppo (scelta iniziale - apertura del conduttore della tre (come dice mamo il conduttore sa di aprire capra)
ti fornisce informazione che modifica la probabilità di macchina. (la moneta non ha questa informazione).
Il ragionamento è: se all'inizio hai scelto macchina (probabilità 1/3) cambiando vai su capra
se hai preso capra (2/3) cambiando vai su macchina.
Se invece non cambi rimani con l'un/terzo della scelta casuale iniziale.
Quindi si potrebbe dire che è una questione di informazione, nel senso che se ti poni indipendente dall'informazione del gioco la probabilità di vincere bcambiando è un mezzo, ma se tieni conto dell'informazione la probabilità di vincere cambiando è due terzi. (e sarebbe sbagliato dire che in questo caso è un mezzo)
Su "Affari tuoi" è un po' diverso, là non ci sono premi di uguale valore.
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