Monete

[axpgn]

Ci sono $30$ monete disposte in circolo, apparentemente tutte uguali ma $20$ sono fasulle e pesano meno di quelle buone.
Le monete fasulle sono disposte consecutivamente una dopo l'altra.

Usando una bilancia a due piatti, qual è il massimo numero di monete fasulle che riuscite ad individuare con UNA sola pesata?


Cordialmente, Alex

[mgrau]

Suppongo che non sappiamo quanto in meno pesano le monete false, e che non abbiamo i pesi campione per la bilancia, giusto? E intendi, "individuare con sicurezza", non "forse, nel caso migliore", giusto?
Nel qual caso, a me viene da dire UNA, (DUE se siamo fortunati), prendendo due monete diametralmente opposte. Ma mi sembra troppo banale. Perchè poi proprio 30?
Resto in attesa della soluzione...

[axpgn]

Sì può fare di più
Però non so se il metodo che ho trovato sia il migliore in assoluto ....

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Al momento ne individuo con certezza

11

Ma forse riesco a fare meglio, ci sto pensando

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Non penso di riuscire a fare meglio ma magari sbaglio perché mi sembra che

...che più monete aggiungi e più informazione perdi! Comunque magari si possono usare delle classi di resto in modo più smart ma in questo momento non so! Io comunque ho pesato solo 2 monete e pesando solo due monete credo non si possa dedurre più di 11, pertanto credo non si possa dedurre più di 11 monete false con una pesata! Praticamente se numeriamo (partendo da dove vogliamo e continuando in senso orario) le monete da \(1\) a \(30\). Sicuro una ed una sola moneta tra \(1,11 \) e \(21\) è vera, mentre le altre due sono false. Se pesiamo la moneta \(21 \) e \(11 \) allora abbiamo 3 casi:
1. Se pesano uguale allora sicuro le monete da \(11\) a \(21 \) sono false.
2. Se \(11 \) pesa meno allora sicuro da \(1\) a \(11 \) sono false.
3. Se \(21 \) pesa meno allora sicuro da \(21 \) a \(1\) sono false.

Comunque, con la stessa idea con al più 4 pesate posso trovare tutte e 20 le monete false. Magari si può fare meglio, e anche se è un problema non richiesto continuare a pesare ecco la soluzione con \(4\) pesate. Nel caso 1. basta continuare a pesare \(26 \) e \(6\), se sono uguali abbiamo finito le monete vere sono dalla \(27\) alla \(5\). Se sono diversi e senza perdita di generalità supponiamo \(6\) pesa di più (quindi è vera), allora pesiamo \(8\) e \(29 \). Se sono uguali abbiamo finito e le monete vere sono dalla \(29\) alla \(8\), se invece sono diversi e ancora senza perdita di generalità diciamo che \(8\) pesa di più, allora basta pesare \(30\) e \(9\). Se pesano uguale allora sono dalla \(30\) alla \(9\), altrimenti dalla \(1\) alla \(10\). Per simmetria gli altri casi sono simili.

[axpgn]

Perfetto!

Non saprei dirlo meglio

[Kharkiv]

Semplicissimo, visto che le monete falsi sono messi una dopo l'altra siamo sicuri che le monete dal 10 a 20 sono falsi, mettiamo questi 10 in un piatto, e sull'altro mettiamo o le prime dieci o le time, non cambia nulla. Così se il peso di moneta falsa uguale X nel primo piatto avremo 10x, nel secondo piatto avremo 10x-ny dove y é la differenza del peso e n il numero delle monete differente. La bilancia ci dà la differenza NY, dove y è uguale per tutte le monete differente da lì che cerciamo n

[axpgn]

Non esistono "le monete dal 10 al 20" perché sono disposte in cerchio.