Monete

[nino_12]

Due bambini, Carlo e Dario, hanno complessivamente 10 monete (in euro e centesimi), con almeno una moneta per taglio.

Il valore posseduto all'inizio da Carlo è uguale a 4 volte quello di Dario.
Dario chiede a Carlo una figurina per completare la sua collezione e per pagarlo gli dà una moneta, ricevendo in cambio un'altra moneta come resto.
A questo punto, Carlo possiede un valore pari a 10 volte quello di Dario.

Quali sono le monete che possiede ciascuno all'inizio?

[axpgn]

Il valore complessivo posseduto dai due amici se espresso in centesimi deve essere un intero divisibile per $5$ e per $11$, dato che non esistono monete di valore inferiore al centesimo e che Dario ne possiede prima $1/5$ e poi $1/11$.
Partendo dalla dotazione di base pari a $388$ centesimi, il primo numero che soddisfa tali proprietà è $440$ ottenibile dalla dotazione di base aggiungendo una moneta da cinquanta centesimi e una da due.
Se il totale è questo ciò significa che Dario possiede $88$ centesimi e Carlo $352$. Si può verificare che $88=1*50+1*20+1*10+1*5+1*2+1*1$ e $352=1*200+1*100+1*50+1*2$.
Dopo lo scambio Dario possiede $40$ centesimi e Carlo $400$ che si ottiene con lo scambio di una moneta da $50$ (da Dario a Carlo) e una da $2$ (da Carlo a Dario).

Cordialmente, Alex

[al_berto]

Dimenticavo lo spoiler!

Posso tentare, ma ho visto che sono stato preceduto.
Dopo tanto penare sono arrivato all conclusione che la somma totale è 388 centesimi + 2 monete (10 monete).Per esclusione sono arrivato a $388+50+2=440$ cioè a uno dei numeri possibili e divisibile per 5. Quindi $440/5=88$ e $88xx4=352$
$(88-x)xx10=352+x$
$x=48$ (somma pagata da Dario e incassata da Carlo)
$88-48=40$
$352+48=400$
Quindi rispondendo alla precisa domanda:
Dario aveva $6$ monete: 50+20+10+5+2+1 centesimi
Carlo aveva $4$ monete: 200+100+50+2 centesimi
Per un totale di $440$ centesimi

s.e.e.o
ciao
aldo

[nino_12]

OK a entrambi.

Si può anche ragionare così:

Indico con C quel che possiede Carlo e con D quel che possiede Dario (i totali, non le liste di monete) e con X la differenza tra la moneta ceduta da Dario e quella ricevuta da Carlo.
Si ha:

C = 4 * D
C + X = 10 (D - X)

da cui:

D = 11/6 X

Si deduce che X è divisibile per 6 e, con questa informazione, si ricava che fra le varie combinazioni di monete, ci sono solo 7 possibilità valide:

X: (20 - 2) , (50 - 2) , (200 - 2) , (50 - 20) , (200 - 20) , (100 - 10) , (200 - 50)

cui corrispondono:

D: 33 , 88 , 363 , 55 , 330 , 165 , 275
C: 132 , 352 , 1452 , 220 , 1320 , 660 , 1100

Le monete sono in 8 tagli e la loro somma è 388.
Quindi la somma C + D deve essere compresa fra 390 e 788.
In questo intervallo, l'unica soluzione è:

X = 48 Carlo riceve 50 centesimi e ne cede 2
D = 88
C = 352

Poiché C + D - 388 = 52
si deduce che le due monete presenti doppie (per raggiungere il numero di 10) sono quelle da 50 e da 2.

Inizialmente, Dario ha una moneta da 50 che cede a Carlo (non due, perché ha meno di 100) e al massimo una da 2 (perché Carlo gliene dà una da 2).
Se togliamo 50, a Dario restano 38 centesimi da distribuire su monete tutte diverse, e c'è una sola possibilità.

In conclusione:
Dario ha 1 + 2 + 5 + 10 + 20 + 50
Carlo ha 2 + 50 + 100 + 200

Ciao
Nino