Moneta truccata

[vl4dster]

Una moneta truccata ha probabilita' $p$ di dare testa.
Trovare la probabilita' che su $n$ lanci, esca un numero pari
di teste.

[eugenio.amitrano]

per la distribuzione binomiale, la propabilità che si verifichino $k$ teste in $n$ lanci è

$P(X = k) = D_(n,k) * p^k*(1-p)^(n-k)$ dove $D_(n,k) = (n!) / (k!(n-k)!)$

quindi potresti fare la sommatoria per tutti i $k$ pari compresi tra $1$ ed $n$ nel seguente modo:

sommatoria per $i = 1 to [n/2]$ di $P(X = 2i)$

[vl4dster]

si, in realta' l'esercizio consiste nel risolvere quella sommatoria

[MaMo2]

Io ragionerei per ricorrenza.
Se P_n è la probabilità di un numero pari di teste dopo n lanci la probabilità dopo n + 1 lanci è data da:

$P_(n+1)=P_n(1-p)+(1-P_n)p=P_n(1-2p)+p$

Risolvendo questa equazione alle differenze del primo ordine con la condizione iniziale $P_0 = 1$ si ottiene:

$P_n=1/2[1+(1-2p)^n]$

Questa soluzione presuppone che lo 0 sia considerato un numero pari. Se escludiamo questa ipotesi si ha:

$P_n=1/2[1+(1-2p)^n]-(1-p)^n$

[vl4dster]

Perfetto
Io comprendevo anche lo zero, dunque
la prima relazione e' quella che ho trovato.
Esiste anche un metodo ancora piu' "elementare"
per risolvere la sommatoria, che consiste nel notare
che:

$((n),(k))p^{k}(1-p)^{n-k} + ((n),(k))(-p)^{k}(1-p)^{n-k} = 2P(X=k)$ se $k$ e' pari,
ed e' $0$ se $k$ e' dispari

[Hitme]

"MaMo":
$P_(n+1)=P_n(1-p)+(1-P_n)p=P_n(1-2p)+p$

Risolvendo questa equazione alle differenze del primo ordine con la condizione iniziale $P_0 = 1$ si ottiene:

$P_n=1/2[1+(1-2p)^n]$

qualcuno sarebbe cosi' gentile da spiegarmi questo passaggio?