Moneta falsa tra 13, con tre pesate

[veciorik]

Copio da axpgn con due varianti.
Tra tredici monete apparentemente identiche ce n'è una falsa, che ha un peso diverso dalle altre, non si sa se sia più leggera o più pesante.
Distinguere la moneta falsa con tre pesate su una bilancia a bracci uguali.

Variante 1: le monete sono solo tredici. Non serve determinare se la moneta falsa è più leggera o più pesante.

Variante 2: c'è anche un'altra moneta sicuramente buona. Si deve determinare anche se la moneta falsa è più leggera o più pesante.

[Drazen77]

Per la Variante 1 mi comporto (quasi) come nel Caso 1 del gioco con 12 monete (questa volta non ci importa sapere se la moneta che stiamo cercando sia più leggera o più pesante):

Divido le 13 monete in tre gruppi (due da quattro e uno da cinque) e confronto il peso dei due gruppi da quattro.
- Caso A: con la prima pesata trovo che i due gruppi pesati hanno lo stesso peso.
- Caso B: con la prima pesata trovo che i due gruppi pesati non hanno lo stesso peso.

- Caso A: la prima pesata dice che i due gruppi pesati hanno lo stesso peso, quindi la moneta di peso differente è nell'altro gruppo (quello da cinque).
- Dal gruppo da cinque prendo tre monete e ne confronto il peso con tre monete del primo gruppo. Questa è la seconda pesata e mi può dare due risultati:

- Caso A1: i due gruppi da tre monete hanno lo stesso peso. Significa che la moneta dal peso differente è una delle due che avevamo lasciato da parte. Con la terza pesata confrontiamo una di queste due con una qualsiasi e troviamo la moneta dal peso differente.

- Caso A2: i due gruppi da tre monete hanno peso diverso. Significa che la moneta dal peso differente è tra le tre monete del terzo gruppo. Con la terza pesata confronto due di queste tre monete e troviamo la moneta dal peso differente.

- Caso B: la prima pesata dice che i due gruppi pesati non hanno lo stesso peso, quindi la moneta di peso differente è in uno di questi due gruppi. Procedo esattamente come nel Caso B del gioco con 12 monete.

Per la Variante 2 ci sto ragionando, ma per chiarezza, in pratica le monete sono 14 e la quattordicesima sarebbe un "jolly" con il peso "giusto" da poter usare per un confronto?

[veciorik]

"Drazen77":Per la Variante 2 ci sto ragionando, ma per chiarezza, in pratica le monete sono 14 e la quattordicesima sarebbe un "jolly" con il peso "giusto" da poter usare per un confronto?

SI

[veciorik]

Complico la variante 2 in 2bis:
la presenza di una moneta falsa è dubbia, le 13 potrebbero essere tutte normali.

[axpgn]

Per la 2bis penso vada bene questa soluzione ...

1^ pesata: $13-3-2-12-5 | 7-8-10-11-0$

2^ pesata: $0-3-11-6-5 | 1-8-4-12-13$

3^ pesata: $13-1-2-10-11 | 9-5-8-4-0 $

Cordialmente, Alex

[veciorik]

axpgn, ho faticato a controllare, nonostante i nostri fondamentali siano uguali (credo), perché la numerazione (aka etichettatura) delle monete e l'ordine delle pesate sono arbitrari, e li abbiamo scelti diversamente.
Potevi agevolare il controllo fornendo una tabella degli esiti simile alla mia nel quiz "12 monete".
La tecnica di Drazen77 è più facile da verificare; vediamo cosa farà in questo caso.

[axpgn]

"veciorik":... Potevi agevolare il controllo fornendo una tabella degli esiti simile alla mia nel quiz "12 monete".

"axpgn":... La tabella la lascio costruire a chi ne ha voglia ...

Evidentemente, io no voglia ...

Comunque, battute a parte ...

Si può controllare agevolmente (IMHO ) anche ad occhio ovvero, per esempio, il $3$ sta nella prima e seconda pesata a sx, il $2$ nella 1^ e 3^ a sx, il $12$ nella 1^ a sx e nella 2^ a dx, il $5$ nella 1^ e 2^ a sx e nella 3^ a dx e così via notando che non esistono situazioni uguali (e ovviamente neppure le simmetriche).
Oppure, se vuoi fare la tabella, invece di usare le lettere, usa i numeri ternari dove $0$ assenza, $1$ sinistra e $2$ destra per cui il $3$ corrisponde a $110$ (e al suo simmetrico $220$), il $2$ a $101$ (e $202$), il $12$ al $120$ (e $210$); ti assicuro che è facile e veloce costruire tutte le $24$ combinazioni (mi riferisco alle 12 monete).
Per le 13 monete ho "solamente" (si fa per dire ) aggiunto la combinazione che mancava cioè la $121$ (e $212$) oltre alla $000$ non contemplata precedentemente.
E così si raggiungono le $27$ combinazioni possibili e di conseguenza non penso si possa fare meglio ... isn't it?

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Per la Variante 2 divido le monete in tre gruppi:
un gruppo da tre monete (AAA), un gruppo da quattro (BBBB) e un gruppo da sei(CCCCCC). A parte c'è la moneta Jolly (J) che sappiamo avere il peso "giusto".

Prima pesata: AAAJ-BBBB
- Caso 1: AAAJ e BBBB hanno peso diverso.
- Caso 2: AAAJ e BBBB hanno lo stesso peso.

- Caso 1: AAAJ e BBBB hanno peso diverso.
Supponiamo che AAAJ sia più pesante di BBBB. Significa che o la moneta "falsa" è tra le AAAJ ed è più pesante o è tra le BBBB ed è più leggera.
Seconda pesata: BB-BB. Se la falsa è tra le BBBB con la seconda e la terza pesata trovo la soluzione.
Se, invece, questa seconda pesata (BB-BB) dà un risultato di equilibrio significa che la falsa sia una delle tre A ed è più pesante delle altre. Con la terza pesata confronto A-A e ho la soluzione.

- Caso 2: AAAJ e BBBB hanno lo stesso peso. Significa che la falsa sia una delle 6 C.
Procederei con la seconda pesata: CCJ-CCC, ma poi non basterebbero tre pesate. Forse mi sono incartato...

[veciorik]

Drazen77, desisti ?
o vuoi una dritta ?

Quante monete al massimo puoi svelare con due pesate, in mancanza di altre info ?
NB: hai sufficienti monete buone, già convalidate.
Rileggi le tue risposte e lo trovi !

[Drazen77]

Con questo metodo ho risolto la Variante 1 e la Variante 2 - Caso 1, ma non riesco a risolvere la Variante 2 - Caso 2.
Con il metodo della tabella, invece, ci si riesce...

[veciorik]

"Drazen77":Con questo metodo ho risolto la Variante 1 e la Variante 2 - Caso 1, ma non riesco a risolvere la Variante 2 - Caso 2.
Con il metodo della tabella, invece, ci si riesce...

OK per la variante 1, ma per la variante 2 parti male.

Se la prima pesata è in equilibrio, con due pesate devi scovare la falsa nel terzo gruppo, che quindi deve avere quattro monete.
Perciò nella prima pesata ne metti in gioco nove: cinque sul primo piatto, quattro più il jolly sul secondo.
Devi analizzare il caso di squilibrio della prima pesata.
Considera che la terza pesata può distinguere la falsa tra tre monete, se conosci il peso e se la seconda pesata è equilibrata.
Il nodo è la seconda pesata: devi distribuire sui piatti sei (nove meno tre) monete dubbie più qualcuna sicuramente buona.
Vuoi provare ? oppure apri l'ultimo spoiler.

Nella seconda pesata, rimosse le tre che decifrerai nella terza pesata in caso di equilibro nella seconda, ne sposti tre dal primo piatto al secondo e ne lasci tre dov'erano, sugli stessi piatti della prima pesata: due (di cinque) restano sul primo piatto e una (di quattro) resta sul secondo piatto.
Ne segue che le tre rimosse vanno prese dal secondo piatto, quello che ne aveva quattro più il jolly, alla prima pesata.
La seconda pesata può avere due esiti non equilibrati: concorde oppure discorde con la prima.
Se discorde, la moneta falsa è tra le tre spostate dal primo piatto al secondo; si sa quanto pesano: la terza pesata è facile.
Se concorde, la falsa è tra le tre rimaste al loro posto; nella terza pesata restano da distinguere ancora due casi, confrontando tra loro le due monete che stavano assieme:
. se la terza pesata concorda con la seconda, la moneta falsa è quella non spostata;
. se la terza è discorde con la seconda, la moneta falsa è quella spostata;
. se la terza è in equilibrio, la moneta falsa è quella esclusa dalla terza pesata.

[Drazen77]

Mi sembra che il ragionamento fili...